¿Cómo mostrar que el espacio ' línea con dos orígenes ' camino conectado?

Question

Considerar la relación de equivalencia en $\mathbb R \times {0,1}$ que identifica $(x,0)$ $(x, 1)$ cuando $x \neq 0$. Que $L$ ser el espacio cociente. Este espacio se llama línea con dos orígenes.

¿De la imagen de él, entiendo que es camino conectado pero analíticamente cómo podemos demostrarlo?

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

Esto no es complicado, pero hay un montón de trabajo.

Si $x,y0$, tomar el segmento de línea que conectan.

Si $x

Si $x\neq0$, $y$ es uno de los ceros, sólo tomar el segmento de línea conectar $x$ $0$.

Si $x$ y $y$ ceros distintos, desde $x$, vaya a $\frac{1}{2}$, dar la vuelta y terminar en $y$.

Answer 2

Podemos fácilmente encontrar un camino entre dos puntos, lo que no es de los orígenes. Por ejemplo, si $a$ es negativo y $b$ es positivo, entonces considerar el intervalo de $a$ $b$que pasa uno de los dos orígenes.

Una ruta entre el origen y el no-origen también puede ser finded fácilmente. El problema es la ruta de acceso entre dos orígenes, pero resulta no ser tan duro: partir de un origen y de trazar una ruta desde el origen al 1. A continuación, dibuje otro camino desde el 1 al otro origen. Usted puede escribir la función de definir la ruta de acceso de forma explícita. Su continuidad se sigue del hecho de que la unión de dos funciones continuas es también continua.

Answer 3

Otro enfoque sería utilizar el hecho de que $L$ es también el cociente de $X = (\mathbb{R} \times {0,1}) \cup ({1}\times[0,1])$ donde el cociente asigna el intervalo entero ${1} \times [0,1]$ al mismo punto (es decir, lo mismo que la imagen de $(1,0)$ y $(1,1)$).

El % de espacio $X$mucho más fácilmente puede ser demostrado ser camino conectado y entonces usted puede utilizar el hecho de que la imagen continua de un espacio de camino conectado es camino conectado.

Answer 4

Aquí hacemos un argumento general.

Recordar que cualquier espacio topológico $X$ se puede dividir en componentes de la ruta y que si la componente de la ruta que contiene un punto es todo el espacio, a continuación, $X$ es la ruta de acceso conectado.

Proposición 1: Deje $X$ ser un espacio topológico y $f: \mathbb R \to X$ $g: \mathbb R \to X$ dos funciones continuas satisfacer la siguiente condición:

$\tag 1 X = f(\mathbb R) \cup g(\mathbb R) \text{ and } f(\mathbb R) \cap g(\mathbb R) \ne \emptyset$

A continuación, $X$ es la ruta de acceso conectado.

Prueba

Deje $x_0$ ser cualquier punto en la intersección de las dos rangos y considerar otro punto arbitrario $x_1 \in X$ que es distinta de la $x_0$. Ahora $x_1 \in f(\mathbb R)$ o $x_1 \in g(\mathbb R)$. Si asumimos que el $x_1 \in f(\mathbb R)$, seleccione los números reales $a_0$ $a_1$ tal que $f(a_0) = x_0$$f(a_1) = x_1$. Claramente si nos restringimos $f$ para el intervalo cerrado definido por $a_0$ $a_1$ tenemos un camino que conecta $x_0$$x_1$.

Idéntico argumento muestra que un camino puede ser creado si $x_1 \in g(\mathbb R)$.

Hemos demostrado que podemos camino conectar $x_0$ a cualquier otro punto, por lo $X$ es de hecho la ruta conectado.$ \quad \blacksquare$

El OP puede aplicar la proposición 1 a su problema mediante la configuración de ambos $f$ $g$ como la composición de dos funciones continuas (de forma natural).