Las fibras de un mapa forman una partición del dominio.

Question

Esta es una pregunta de la libre universidad de Harvard en línea álgebra abstracta conferencias. Estoy publicando mis soluciones aquí para obtener algunos comentarios sobre ellos. Para una explicación más completa, vea este post.

Este problema es a partir de la asignación 5.

Demostrar que las fibras de un mapa que forman una partición del dominio.

Deje $G$ $G^\prime$ se establece y $f$ ser un mapa de$G$$G^\prime$. El vacío de las fibras de $f$ corresponden a los elementos de la imagen de $f$$G^\prime$. Deje $R$ ser una relación en $G$ definido por $a \sim b$ si $a$ $b$ están en la misma fibra. Para todos $a\in G$, $f(a)=f(a)$, por lo $a\sim a$ $R$ es reflexiva. Supongamos que, por alguna $a,b\in G$,$a\sim b$. A continuación,$f(a)=f(b)$. Por lo $b\sim a$ $R$ es simétrica. Supongamos que, por alguna $a,b,c\in G$,$a\sim b$$b\sim c$. A continuación,$f(a)=f(b)$$f(b)=f(c)$. Así $f(a)=f(c)$, $a\sim c$, y $R$ es transitiva. Por lo tanto, $R$ es una relación de equivalencia y el vacío de las fibras de $f$ forma una partición de $G$.

De nuevo, doy la bienvenida a cualquier crítica de mi razonamiento y/o mi estilo, así como soluciones alternativas para el problema.

Gracias.

Answer 1

Como ineff dijo, tu solución es buena, y ineff ha dado otra solución natural. Puesto que usted está estudiando por su cuenta, sólo quiero enfatizar que si $G$ es un conjunto, las relaciones de equivalencia en $G$, particiones de $G$, y las funciones con dominio $G$ son tres maneras de mirar esencialmente la misma cosa.

Ya has visto que si $R$ es una relación de equivalencia en $G$, $\mathscr{P}(R)=\{[x]_R:x\in G\}$ es una partición de a $G$ (donde $[x]_R$ $R$- clase de equivalencia de a $x$), y si $\mathscr{Q}$ es una partición de a $G$, entonces la relación $E(\mathscr{Q})$ definido por $$x\;E(\mathscr{Q})\;y \iff \exists Q\in\mathscr{Q} \big(x,y\in Q\big)$$ is an equivalence relation on $G$. Moreover, $E\big(\mathscr{P}(R)\big)=R$ for any equivalence relation $R$ on $G$, and $\mathscr{P}\big(E(\mathscr{Q})\big)=\mathscr{Q}$ for any partition $\mathscr{Q}$ of $G$. In other words, there's a natural bijection between equivalence relations on $G$ and partitions of $G$ given by $R\mapsto\mathscr{P}(R),\mathscr{Q}\mapsto E(\mathscr{Q})$: cada relación de equivalencia determina una partición, que a su vez determina el original de la relación de equivalencia.

En este ejercicio se ha demostrado que si $f$ es cualquier función con dominio de $G$, las fibras de $f$ forma una partición de $G$, decir $\mathscr{P}(f)$. Esta correspondencia también va en ambos sentidos. Supongamos que $\mathscr{Q}$ es una partición de a $G$. Definir $g_\mathscr{Q}:G\to\mathscr{Q}$ dejando $g_\mathscr{Q}(x)$ ser el único miembro de $\mathscr{Q}$ contiene $x$; claramente $g_\mathscr{Q}$ es una función con dominio de $G$, y es muy fácil comprobar que

$\qquad(1)\qquad\mathscr{P}(g_\mathscr{Q})=\mathscr{Q}$ para cualquier partición $\mathscr{Q}$$G$, y
$\qquad(2)\qquad g_{\mathscr{P}(f)}=f$ para cualquier función de $f$ dominio $G$.

Es decir, tenemos una natural bijection entre particiones de $G$ y las funciones con dominio $G$$\mathscr{Q}\mapsto g_\mathscr{Q},f\mapsto\mathscr{P}(f)$: cada partición determina una función que a su vez determina la partición original.

Y por supuesto, estos dan lugar a un bijection entre las relaciones de equivalencia en $G$ y las funciones con dominio $G$.

Usted va a utilizar los tres puntos de vista al estudiar el cociente de los grupos.

Answer 2

Tu solución es correcta. Ya que pediste diferentes soluciones te doy uno.

Que $f \colon G \to G'$ ser una función. Cada $x' \in G'$, nos lo indica que $f^{-1}({x'})$ el conjunto de $$\left{x \in G : f(x)=x' \right}$ $ es decir, la fibra de la mapa $x'$ $f$.

Ahora dado $x',y' \in G'$ y $f^{-1}({x'}) \cap f^{-1}({y'}) \ne \emptyset$ si y sólo si existe un $z \in G$ tal que $x' = f(z) = y'$ y tan así $x'=y'$.

Esto implica que el $f^{-1}({x'}) \cap f^{-1}({y'}) \ne \emptyset$ si y sólo si $f^{-1}({x'})=f^{-1}({y'})$, que significa que las fibras (es decir los conjuntos de la forma $f^{-1}({x'})$ de algunos $x' \in G'$) forman una partición de $G$.