¿Qué estructura en una categoría monoidal haría su categoría 2 del módulo categorías monoidal y trenzado?

Question

Así, muchos de nosotros sabemos que la respuesta a "¿qué tipo de estructura en un álgebra haría su categoría de representaciones trenzado monoidal": el álgebra debe ser un cuasi triangular álgebra de Hopf (tal vez si usted está dispuesto a debilitar a la cuasi-Hopf álgebra, tal vez esto es todo de ellos?).

Estoy interesado en el categorified versión de esta declaración; digamos que me reemplace "álgebra" con una categoría monoidal (estoy dispuesto a poner algún tipo de nidos/dg/$A_\infty$/estable infinito estructura, si te gusta), y "categoría de representaciones" con "2-categoría de módulo de categorías" (de nuevo, está bien si quieres poner una de las estructuras por encima de estos). ¿Qué tipo de estructura que debo buscar en el álgebra que haría que el 2-trenzado de categoría monoidal?

Permítanme darles un poco más de fondo: Rouquier y Khovanov-Lauda ha definido una categoría monoidal que las categorías de la cuantizado universal que envuelve álgebra $U_q(g)$. Es una pregunta abierta si la categoría de módulo de categorías por encima de esta categoría monoidal es en sí trenzado monoidal, y no estoy seguro de que incluso sabe realmente lo que la estructura debería estar buscando.

Sin embargo, una cosa que sé, es que la estructura monoidal (probablemente) no proviene sólo de elevación de los diagramas que definir un álgebra de Hopf. En particular, creo que sé cómo tomar tensor de productos de representaciones irreducibles, y el resultado que obtengo no es el ingenuo tensor de productos de las categorías de alguna manera que yo lo entiendo (se parece a utilizar realmente el categorified $U_q(g)$-acción en la definición de la base de la categoría).

Para dar a la gente una idea de lo que está pasando, si me tomo una irreductible $U_q(g)$ de representación, tiene una base canónica. Es el tensor de producto también tiene una base canónica, pero no el producto tensor de las bases canónicas. Así que de alguna manera la categoría de "$U_q(g)$ representaciones con una base canónica" es una categoría monoidal de la que es propia de la cual no coincide con la habitual estructura monoidal en "espacios vectoriales con base." Quiero averiguar la correcta configuración de categorifying esto correctamente.

También, he iniciado un n-laboratorio de página en esta pregunta, aunque no hay mucho para mirar que hay ahora.

Answer 1

(Creo que no voy a decir nada que no sepamos ya, pero voy a darle una oportunidad de todos modos.)

Bien, tenemos una noción de la categoría de módulo una vez que elija un monoidal simétrica 2-categoría en la que trabajar.

Si elegimos una cartesiano uno como el Gato, donde monoids son sólo monoidal categorías, entonces, por supuesto, cada 2-categoría de módulo de categorías es monoidal simétrica a través de la diagonal de la acción. Así que, supongo que usted no está interesado en este caso; supongo que usted prefiere una más "lineal" de configuración, tales como el 2-categoría de presentable categorías.

Para una V, si C es un monoid en V, se debe ser capaz de tomar sus 2-categoría de módulos en un monoidal 2-categoría si tenemos un V-bialgebra estructura en C en el sentido obvio. Digo "obvio", porque ninguno de los diagramas estoy pensando si no hay ningún invertible 2-morfismos. Tenga en cuenta que lo que realmente estamos haciendo es buscando monoidal estructuras que en los objetos subyacentes convertirse en la estructura monoidal en V. por supuesto, Hay otras posibilidades, tales como "tensor sobre C". (De hecho, yo hubiera terminado la primera frase diciendo: "el álgebra debe ser un E₃ anillo de espectro".)

Yo no entiendo muy bien la R-matriz historia lo suficientemente bien como para ver si debe extender fácilmente a esta situación. En primer lugar, quiero entender, si V es decir presentable cerrado monoidal simétrica 1-categoría, lo extra estructura necesito en un álgebra de Hopf objeto de V para hacer Un mod trenzado monoidal? (E. g., la respuesta debería ser trivial cuando V = Set).

Answer 2

No he pasado tanto tiempo en esta buena pregunta como yo quería. También no he pasado casi todo el tiempo sobre el importante tema de que se trata de como yo quería. Pero aquí es una puñalada en ella.

En primer lugar, Khovanov y Lauda en realidad no categorify el verdadero $U = U_q(\mathfrak{g})$. Lusztig en realidad no encontrar una base canónica para él tampoco. En cambio, funcionan con una forma atomizada $\dot{U}$ que, en la medida que puedo decir, equivale a la representación de la categoría de $U$. Si estoy en lo correcto acerca de que, luego de la categorification le da ninguna sugerencia en cuanto a cómo decorar la categoría de Hopf para hacer su 2-categoría de representaciones feliz, porque la pregunta es tautológica. Una cosa que está ocurriendo es algo que se ha identificado como un indicio de problemas en su pregunta: Dadas dos irreps $V_\alpha$$V_\beta$, de hecho hay tres basified combinaciones, usando el tensor de la base, la base canónica, y el dual de la base canónica. Voy a suponer que tienen categorifications con functors entre ellos de esta manera: $$\mathcal{V}_\alpha \diamondsuit \mathcal{V}_\beta \leftarrow \mathcal{V}_\alpha \otimes \mathcal{V}_\beta \a \mathcal{V}_\alpha \heartsuit \mathcal{V}_\beta.$$ (Tal vez no es tan simple como estas flechas, pero no es de esperar que algún tipo de asociación. También no tengo ganas de usar el símbolo de $\boxtimes$, pero tal vez debería.)

Creo que el papel Khovanov-Lauda me tiene un verdadero categorifigation de $U^+ = U_q(\mathfrak{g}^+)$ con la estructura que se rechazan como la respuesta equivocada. Es decir, la inducción y la restricción de functors son functors $$M:\mathcal{U}^+ \otimes \mathcal{U}^+ \to \mathcal{U}^+ \qquad \Delta:\mathcal{U}^+ \to \mathcal{U}^+ \otimes \mathcal{U}^+$$ Así que quizá $\mathcal{U}^+$ actúa sobre las tres de la anterior categórica productos, y quizás $\mathcal{U}^-$ hace demasiado, pero las acciones no encajan perfectamente. Es sabido que puede comprender una representación de la decategorified $U$ como un cierto tipo de trenzado de Hopf módulo de $U^+$ (utilizando el quantum de la doble fórmula de Drinfeld), o, equivalentemente, como un trenzado de bimodule de $U^+$$U^-$. Tal vez el quantum de doble fórmula debe ser categorified de alguna manera que no conduzca a un categorification de $U$, ya que las personas no se han construido.

Esta sugerencia es un poco como la de Chris sugerencia de un Hopfish categorification, pero en su lugar sería una de Hopf categorification que es el doble-ish. También es posible que solo sea trenzado-ish, ya que proviene de la cuántica doble. Tenga en cuenta que Khovanov y Lauda también no categorify la antípoda en su papel, solo el bialgebra estructura.

Answer 3

En respuesta a tu primera pregunta, sí; una categoría monoidal estructura sobre Rep(H) para un álgebra de H es equivalente a tener un cuasi-bialgebra estructura en H. Y el trenzado le da lo que se llama un QTQBA. Si usted también pide duales, se obtiene un cuasi-Hopf álgebra y QTQHA respectivamente. Usted puede recuperar los axiomas para el asociador Φ y la R de la matriz como endomorphisms de la functor a espacios vectoriales, similar a Tannakian tipo de construcciones. También la antípoda S que satisface las más extrañas de las identidades. [edit: Antes he leído mal el paréntesis parte suponiendo que ya Rep(A) de algunas de álgebra, y luego dijo casi lo contrario =).]

Antes de hablar sobre el trenzado, vamos a preguntar a la categoría tienen un tensor de estructura de producto en sus 2 categoría de módulo de categorías, que por supuesto va a ser extra estructura. Supongo que esto será equivalente a pedir un functor de \Delta: C C x C la satisfacción de diversas categórica versiones de la bialgebra axiomas. No debe ser un co-asociatividad de restricción, la cual debe ser coherente en cierta manera sencilla, y debe haber un isomorfismo de functors categorifying la afirmación de que el subproducto de un bialgebra es un álgebra de morfismos de Una a Una ⊗ A. Todo esto debe dotar a su 2-categoría de los módulos con la estructura de un monoidal de 2 categoría.

Usted desea una transformación natural de functors de \Delta\a \Delta^{op}, también la satisfacción de diversas connaturalidad propiedades.

¿Cómo es que el sonido (como un inicio)?

Answer 4

Ben, sucedió recientemente en el papel de Lyubashenko de 1999 (!), que aborda muchos de estos temas y aún está motivado por el deseo de categorify cosas como base canónica etc.. También contiene referencias a los trabajos de grúa y Frenkel y de caso, en esta dirección. El papel es Lyubashenko, llamada

"Operaciones e isomorfismos en una categoría triangulada de Hopf"

Espero que usted encuentra este útil.

Answer 5

Aquí es un conjunto de datos que será suficiente. Para obtener la estructura monoidal usted realmente no necesita un (monoidal) functor $C \to C \boxtimes C$. Es suficiente con tener un bimodule categoría de M de C a $C \boxtimes C$. Usted también necesitará un counit $C \to Vect$, y estos se deben dar C de la estructura de un (débil) comonoid en el 3-categoría de tensor de categorías, bimodule categorías, entrelazando functors, naturales y transformaciones.

Para calcular cuál es la inducida por el producto tensor hace dos dados módulo de categorías que se han "componer" el ingenuo producto tensor con este bimodule categoría. Esto puede ser calculada por medio de un adecuado (homotopy) colimit de categorías. Es básicamente una versión más grande de una coequalizer diagrama. Esta es la derecha en el número de categoría donde se empieza a ver los interesantes fenómenos de la "homotopy" aspecto de esta colimit, que creo que explica el curioso comportamiento que se está notando con respecto a las bases.

Finalmente, usted puede obtener un trenzado por tener una adecuada isomorfismo de bimodule categorías,

$ M \circ \tau \Rightarrow M$

que satisface la obvia trenzado axiomas. Aquí $\tau$ es el habitual "flip" bimodule.