¿Por qué es $ e^{-\frac{x^2}{2}+c_1} = c_1\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $?

Question

Recientemente he intentado resolver esta ecuación diferencial:

$$ y'+xy = 0 $$

$$ \frac{dy}{dx} + xy = 0 $$ $$ \int \frac{dy}{y} = \int -x \,dx $$

Esta es mi solución: $$ y(x) = e^{-\frac{x^2}{2} + C_1} $ $

Según Wolfram | Alfa debe ser verdadero, pero también no perfectamente simplificada.

Solución de wolfram: $$ y(x) = C_1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $ $

Tengo el último paso en todo.

Answer 1

Debe tener\begin{align} |y| & = e^{-x^2/2 \, + \, C_1} \[10pt] & = e^{-x^2/2} e^{C_1} \[10pt] & = e^{-x^2/2} \cdot C_2 & & \text{and } C_2>0 \text{ since it is a value} \ & & & \text{of the exponential function} \[10pt] \text{So } y & = e^{-x^2/2} \cdot C_3 & & \text{and } C_3 \ne 0. \end {Alinee el} sin embargo el método por el que se encontró esta solución asume $y\ne0,$ ya que uno se divide en $y$ para conseguirlo. Por lo tanto sólo encuentra soluciones de distinto de cero. Uno debe comprobar por separado si $y=0$ es una solución. (Y que es muy fácil). Por lo tanto la solución general es $$ y = e ^ {-x ^ 2/2} \cdot C $$ donde $C$ puede ser cualquier escalar.

Answer 2

Observe que$$e^{-\frac{x^2}{2}+c_1} = e^{-\frac{x^2}{2}} e^{c_1}$ $ pero$e^{c_1}$ es una constante, así que denúncielo como$K$, de ahí$$e^{-\frac{x^2}{2}+c_1} = K e^{-\frac{x^2}{2}}$ $

Por lo general, la notación indica que tienes una constante y eso no significa que$$e^{-\frac{x^2}{2}+c_1} = c_1\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$ $

Answer 3

ps