$C_p = \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ es un campo % primer $p$.

Question

Que $p$ un número primo. $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ con la suma de la multiplicación dada por $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$ y $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ es que un campo para algunos primer mayor que dos y $C_2$ no es un campo.

Lo que hice: $C_2$ no es un campo, porque $(1,0)$ es el neutro, y da a $(1,1)*(c,d) = (1,0)$ $c-d=1, d+c=0$, que no tener solución en $\mathbb{Z}_2$, entonces no es un campo. Pero no sé cómo hacer para $p>2$, porque todo lo que sé es comprobar caso por caso, y creo que nosotros no supone mucho trabajo.

Gracias.

Answer 1

La idea es que esta multiplicación es la misma multiplicación de números complejos:

$$ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. $$

Por lo tanto, $p > 2$ $C_p$ es un campo si y solamente si $i \notin \mathbb Z_p$ ningún elemento de $\mathbb Z_p$ que significa tiene Plaza $-1$. (¿Por qué es esto cierto?)

Answer 2

Sugerencia: $(2,1)\times(2,-1)=(0,0)$ $C_5$