Integrales múltiples: Cómo recuperar rango de abscisa

Question

Tenemos la integral doble:

$$\int \int_D 2x + 3y \; dx\;dy$$

El dominio en el que queremos calcular es la región plana definida por las curvas:

$$y = x^2 \; ; \; y=x$$

Luego, a través de la descomposición de las normas que resolver la interna integral a $dy$, y para ello nos encontramos con la copia de las coordenadas del mínimo y el máximo de puntos del dominio, que son, precisamente,

$$y = x^2 \; ; \; y=x$$

Mientras que el mínimo y el máximo de puntos abiscissas será el externo integral de la gama

$$\int_{0}^{1} dx \int^{x}_{x^2} 2x + 3y \; dy$$

Las coordenadas se encuentran resolviendo a $y$ las curvas que definen el dominio : para el abscissas, ¿existe un método matemático, o debemos simplemente ser intuitivo?

Gracias de antemano

Answer 1

La configuración es correcta y una simple parcela de la gráfica puede ayudar a guiar para encontrar la gama de abscisa que luego puede encontrarse por la ecuación

$$x^2=x \iff x(x-1)=0 \iff x=0 \lor x=1$$

Nota que para definir correctamente la región $D$ necesitamos también alguna otra condición que es por ejemplo que la integral debe ser adecuada o que

$$D={(x,y)\in \mathbb{R^2}: x^2\le y\le x}$$

Answer 2

También puede definir nuevas variables $$u = x, \quad v = \frac{y}x$ $

Vemos que el $u = x \in [0,1]$ y $y \in [x^2, x] \iff v = \frac{y}x \in [x,1]=[u,1]$.

El jacobiano es dada por

$$\frac1J = \begin{vmatrix} \partial_xu & \partial_yu \ \partial_xv& \partial_yv\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \ -\frac{y}{x^2}& \frac1x\end{vmatrix} = \frac1x$$

así $|J| = |x| = x = u$.

Desde $y = xv = uv$, la integral resultante es

$$\int{u=0}^1 \int{v=u}^1 (2u+3uv)u\,dv\,du = \frac{11}{30}$$

que es lo mismo como $\int{0}^{1} \int^{x}{x^2} (2x + 3y) \,dy\,dx$.