¿Cuántas formas hay para que 8 hombres y 5 mujeres se coloquen en una línea de manera que ninguna mujer esté al lado de otra?

Question

Tengo un problema de tarea en mi libro de texto que hasta ahora me ha dejado perplejo. Hay uno similar que no ha sido asignado y tiene una respuesta en la parte de atrás del libro. Dice:

¿Cuántas maneras hay para que $8$ hombres y $5$ mujeres se coloquen en una línea de manera que ninguna mujer esté al lado de otra?

La respuesta es $609638400$, pero no importa lo que intente, no puedo llegar a ese número. He intentado hacer $2(8!5!/3!)*(8!/5!)$ porque cada mujer debe ser emparejada con un hombre para evitar que dos mujeres estén juntas. Pero, por supuesto, es la respuesta incorrecta.

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

Para este tipo de problema, primero considera la posición de los hombres, luego la posición de las mujeres. En general, primero considera el grupo con más personas.

¿Cuántas maneras posibles hay de organizar a ocho hombres en fila? Será $^8P_8 = 8! = 40320$

Ahora, como ninguna dos mujeres están una junto a la otra, podemos imaginar la situación como

                   * M * M * M * M * M * M * M * M *

Por lo tanto, necesitamos encontrar cuántas formas podemos organizar a $5$ mujeres en los $9$ lugares posibles (como se muestra arriba), esto es en realidad $^9P_5 = 9*8*7*6*5 = 15120$

Ahora, aplicando la ley fundamental del conteo (precisamente la regla del producto), el número total de arreglos posibles que satisfacen ambas restricciones es: $15120 * 40320 = 609638400$ que es tu respuesta necesaria/deseada.

Answer 2

Otra forma de calcular los arreglos de hombres y mujeres es considerar la manera en que se pueden juntar las cadenas que consisten en $m$s y $w$s. Todas las posibles cadenas de cualquier longitud se pueden construir a partir de una elección de términos en el producto $$(w+1)\sum_{k=0}^\infty(mw+m)^k$$ La $w$ en el $(w+1)$ seleccionará aquellas cadenas que comienzan con una $w$; el $1$ selecciona aquellas que comienzan con una $m$. Dado que dos mujeres no pueden estar juntas, la $w$ solo aparece como $mw$ dentro de la suma de potencias.

Por lo tanto, necesitamos calcular el coeficiente de $m^8w^5$ en $\sum\limits_{k=0}^\infty m^k(w+1)^{k+1}$, que es el coeficiente de $m^8w^5$ en $m^8(w+1)^{8+1}$ que es $\binom{9}{5}$. Hay $8!$ arreglos de los hombres y $5!$ arreglos de las mujeres dentro de cada uno de estos arreglos de $m$s y $w$s. Por lo tanto, la respuesta final es $$\binom{9}{5}\,8!\,5!=609638400$$

Answer 3

W M W M W M W M W M W M W M W M W esta es la posibilidad.. Tenemos 9 W y 8 M, así que tenemos que contar 5 w de 9 w y eso es C(9,5). Luego tenemos que multiplicar esto por 8! y 5! para todas las posibles combinaciones. eso es: 8!*5!*C(9,5)=609,638,400 (respuesta)

Answer 4

• M * M * M * M * M * M * M * M * .

hay 9 "*". 8 "M". ahora selecciona 5 * de 9 *, entonces == c(9,5)