Mostrar que estrictamente es menor que $e^{-t}\int_{0}^{t}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}dx$ $t\geq1$

Question

Quiero probar que es menor que $e^{-t}\int_{0}^{t}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}dx$ $[1,\infty[$.

En primer lugar experimentos numéricos verificar esto.

Estoy probando el primer criterio de la derivada, pero pegado con demostrar que el signo de la derivada es negativo, que es equivalente a indicar que $$\int_{0}^{t}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}dx> \frac{e^{t}}{\sqrt{t}},\qquad t\geq 1$ $.

¿Alguna idea?

Answer 1

Creo que lo solucioné.

Que $f(t):=e^{-t}\int_{0}^{t}\frac{e^{\xi}}{\sqrt{\xi}}$.

Tenemos que mostrar que $f^{\prime}(t)=\frac{\frac{e^t}{\sqrt{t}}-\int_{0}^{t}\frac{e^{\xi}}{\sqrt{\xi}}}{e^{t}}1$. Este último sigue si se demuestra que la función $g$ donde

es positivo para $$g(t):=\int_{0}^{t}\frac{e^{\xi}}{\sqrt{\xi}}-\frac{e^t}{\sqrt{t}}$ $t>1$ $.

Ahora $$g(1):=\int_{0}^{1}\frac{e^{\xi}}{\sqrt{\xi}}-e$ $ resulta que $g(1)=\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(1)-e>2.9-e>0$ (podemos hacer la estimación esta última analíticamente?)

Por último,

$$ g ^ {\prime} (t): = \frac {e ^ {t}} {\sqrt {t}}-\frac {e ^ t} {\sqrt {t}} + \frac{e^t}{2t^{\frac{3}{2}}} > 0$ $, $g$ es creciente y positiva en $t=1$.

Answer 2

Vamos a empezar sin considerar $t\geq 1.$

Set $F(t)=e^{-t}\int_{0}^t\frac{e^x}{\sqrt{x}} dx.$

Entonces $ F'(t)=-F(t)+\frac{1}{\sqrt{t}}$ or equivalently $$F(t)=-F'(t)+\frac{1}{\sqrt{t}}.$$

Desde el otro lado, $$F(t)\leq \int_0^{t}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{t}.$$

Poniendo juntos podemos conseguir $$-F'(t)+\frac{1}{\sqrt{t}}\leq 2\sqrt{t}.$$ Esto conduce a $$F'(t)\geq \frac{1-2t}{\sqrt{t}},$$ cual es positivo si $0\leq t \leq 1/2,$ pero no da una información para $t\geq 1.$

Answer 3

Se trata de función Dawson $$F(t^2)=e^{-t^2}\int_{0}^{t^2}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}dx=2e^{-t^2}\int_0^te^{x^2}\ dx$ $ que decir % $ $$g(t)=e^{-t^2}\int_0^te^{x^2}\ dx\implies g'(t)=1-2te^{-t}\int_0^te^{x^2}\ dxe^{-t}\int_0^t2xe^{x^2}\ dx>e^{-t}(e^{t^2}-1)>1$$ Wolfram muestra esto es cierto solamente para $t>\sim1.2$.

Answer 4

Consejo: La primera derivada con respecto a los $t$ otorga $$ f'(t)-{{\rm e} ^ {-t}} \sqrt {\pi}{\it erfi} \left (\sqrt {t} \right) + {\frac {{{\rm e} ^ {-t}} {{\rm e} ^ {t}}} {\sqrt {t}}} $$