Supongo que $A \in M_n(\mathbb R)$ es una matriz real. Me pregunto qué condiciones conmutar garantía $AA^T$ $A^T$, es decir,\begin{align} AA^T A^T = A^T A A^T. \end{align} si $A$ es normal, creo que la relación se sostiene desde entonces $A^T$ es un polinomio en $A$. Por otro lado, el commutativity es exactamente $A(AA^T-A^TA) = 0$ que es columnas de $(AA^T-A^TA)$ $ \text{ker}(A)$. ¿Es una propiedad de cierta clase de matrices?
Respuesta
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$AA^T$ es real simétrica. Por un cambio de base orthonormal, suponemos que $AA^T=D\oplus0$ % matriz diagonal positivo $D$. La condición del commutativity así implica que $A^T$ en forma de $X\oplus Y$, donde $X$ tiene el mismo tamaño que $Y$. Pero entonces $D\oplus 0=AA^T=(X^TX)\oplus(Y^TY)$. Por lo tanto es invertible $X$ y $Y=0$. Conecte nuevamente la condición del commutativity, obtenemos $X(X^TX)=(X^TX)X$ y a su vez $XX^T=X^TX$. Por lo tanto, $X$ y a su vez $A$ son normales. Obviamente esto es una suficiente condición también.
