Hallar la suma de cuadrados de las raíces reales

Question

Dejemos que $r_1,r_2,r_3,\cdots,r_n$ sean los ceros reales distintos de la ecuación $$x^8-14x^4-8x^3-x^2+1=0.$$ Entonces $r_1^2+r_2^2+r_3^2+\cdots+r_n^2$ es $$(A)\,3\quad(B)\,14\quad(C)\,8\quad(D)\,16$$

Puedo obtener la suma de los cuadrados de todas las raíces utilizando las fórmulas de Vieta, pero en realidad no sé cómo proceder en esta pregunta.

¿Tengo que dibujar un gráfico y luego encontrar las respuestas o hay un truco de suma aquí que no soy capaz de ver?

Answer 1

Pista: las raíces reales son las raíces del primer factor:

$$ \begin{align} x^8\color{red}{+2x^4-2x^4}-14x^4-8x^3-x^2+1 &= (x^4+1)^2 - x^2(4x+1)^2 \\ &= (x^4 - 4 x^2 - x+1)(x^4+4x^2+x+1) \end{align} $$

Answer 2

Dejemos que $$f(x)=x^8-14x^4-8x^3-x^2+1\implies f'(x)=8x^7-56x^3-24x^2-2x=0$$ para los puntos críticos. Entonces, claramente $x=0$ es uno, y es un máximo ya que $f''(0)<0$ ; $f(0)=1$ .

Obtenemos $$g(x)=4x^6-28x^3-12x-1=0$$ y como $g$ es continua, por el Teorema del Valor Medio, hay un mínimo entre $(-0.2,0)$ y un máximo entre $(-0.4,-0.2)$ . En estos $x$ , $f(x)$ está por encima del $x$ -eje.

Por lo tanto, quedan como máximo cuatro raíces. De forma similar, probamos en $0.2$ intervalos, y encontramos que $$f(-1.8)>0,\quad f(-1.6)<0\\f(-0.8)<0,\quad f(-0.6)>0\\f(0.2)>0,\quad f(0.4)<0\\f(2)<0,\quad f(2.2)>0.$$

Así, tenemos que $$(-1.6)^2+(-0.2)^2+0.2^2+2^2<r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2<(-1.8)^2+(-0.8)^2+0.4^2+2.2^2$$ o que $$6.64<r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2<8.88$$ por lo que la única opción debe ser $(C)$ .

Answer 3

Siguiendo la pista fundamental de dxiv, para $x^4-4x^2-x+1$ por La fórmula de Vieta tenemos

• $S_1=\sum r_i=-a_3=0$
• $S_2=\sum r_ir_j=a_2=-4$
• $S_3=\sum r_ir_jr_k=-a_1=1$
• $S_4=r_1r_2r_3r_4=a_0=1$

y por Las sumas de Newton tenemos que

• $P_1=\sum r_i=S_1=0$
• $P_2=\sum r_i^2=S_1P_1-2S_2=8$

Answer 4

\begin {align} x^8-14x^4-8x^3-x^2+1&=0 \tag {1} \label {1} . \end {align}

\eqref {1} se puede factorizar como

\begin {align} f_1(x)f_2(x)=0 , \\ f_1(x)&=x^4+4x^2+x+1 \tag {2} \label {2} , \\ f_2(x)&=x^4-4x^2-x+1 \tag {3} \label {3} . \end {align}

\begin {align} f_1(x)&=x^4+3x^2+(x^2+x+ \frac14 )- \tfrac14 +1 \\ &=x^4+3x^2+ \tfrac14 (2x+1)^2+ \tfrac34 >0 \quad \forall x \in\mathbb {R} . \end {align}

También podemos encontrar que factor $f_2(x)$ tiene cuatro raíces reales distintas, por ejemplo, observando que

\begin {align} f_2(-2)&=3>0 , \\ f_2(-1)&=-1<0 , \\ f_2(0)&=1>0 , \\ f_2(1)&=-3<0 , \\ f_2(3)&=43>0 , \end {align}

Ahora considere \begin {align} f_2(x)f_2(-x)&= (x^2)^4-8(x^2)^3+18(x^2)^2-9(x^2)+1 \tag {4} \label {4} . \end {align}

Expresión \eqref {3} es un polinomio en $x^2$ , sus raíces son los cuadrados de las raíces de \eqref {1}, por lo que la suma buscada de los cuadrados de las raíces reales distintas de \eqref {1} es $8$ (coeficiente negado en $(x^2)^3$ en \eqref {4}).