Cómo resolver$x^x=8$ y probar que tiene una y solo una raíz irracional

Question

$x^x=8$

Debemos encontrar el único irracional solución, y demostrar que esta solución es la única. La singularidad de la raíz que me parece evidente a partir de la monótonamente creciente gráfica de la $x^x$, pero no sé cómo resolver. He intentado jugar con logaritmos, pero no funcionó. Hasta ahora mi mejor conjetura es que tenga en cuenta que

$2,3884^{2,3884}=7,99964856151$

y tratar de encontrar una expresión que implique raíces de los productos naturales que estaría cerca de $2,3884$, pero hay demasiados números.

Gracias.

Answer 1

La irracionalidad de la raíz: Si era racional, es decir $\frac{a}{b}$ (tanto en $a$ $b$ positivo números naturales), tendríamos

$$\left( \frac{a}{b} \right ) ^{\frac{a}{b}} = 8$$

$$\left( \frac{a}{b} \right )^a = 8^b$$

Pero esto significaría que un positivo energía natural del número racional $\frac{a}{b}$ es un número natural, por lo que debe ser un número natural, por lo que también $b=1$. Pero esto nos lleva a la contradicción

$$a^a = 8$$

Única cosa $a$ $1, 2, 4, 8$ (debido a $8$ no tiene otros divisores positivos), pero ninguno de estos trabajos.