Encontrar la suma de los cuadrados de las raíces de un polinomio cuártico.

Question

¿Cuál es la suma de los cuadrados de las raíces de la $x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 11x + 5$ ?

Esta pregunta es a partir de la 2da ronda de clasificación de la del año pasado Que Quiere ser un Matemático de la escuela secundaria de la competencia que puede ser visto aquí:

Yo sé la respuesta (32) debido a que se da también en el enlace, y he comprobado por fuerza bruta que la respuesta es correcta.

Sin embargo, he hecho ningún progreso en averiguar cómo calcular la suma de los cuadrados de las raíces - ya sea antes o después de saber la respuesta! Yo estaba esperando que haya un buen "truco" otros análogos a la situación si le habían dado una cuadrática y le hizo la misma pregunta, en ese caso sé cómo obtener la suma y el producto de las raíces directamente de los coeficientes y, a continuación, un simple poco de manipulación algebraica para llegar a la suma de los cuadrados de las raíces.

En este caso (la cuártica) no tengo idea de cómo acercarse a ella, y no he detectado ninguna manera de simplificar el problema (por ejemplo, no puedo ver una evidente factorización, que podría haber ayudado a mí).

He mirado en la web en varios artículos que dicutir las relaciones entre los coeficientes de los polinomios y sus raíces y - en pocas palabras - no he encontrado nada que me dio la inspiración para este rompecabezas.

Dado que la audiencia para esta prueba, se debe ser susceptibles a los elementales de los métodos de ... agradecería cualquier sugerencias y/o soluciones!

Gracias.

Answer 1

Tenemos

$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=$$ $$=x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2\-(abc+abd+acd+bcd)x+abcd$$

entonces por

• $S_1=a+b+c+d$
• $S_2=ab+ac+ad+bc+bd+cd$
• $S_3=abc+abd+acd+bcd$
• $S_4=abcd$

$$a^2+b^2+c^2+d^2=S_1^2-2S_2$$

y más en general por sumas de Newton tenemos

• $P_1=a+b+c+d=S_1$
• $P_2=a^2+b^2+c^2+d^2=S_1P_1-2S_2$
• $P_3=a^3+b^3+c^3+d^3=S_1P_2-S_3P_1+3S_3$
• $P_4=a^4+b^4+c^4+d^4=S_1P_3-S_2P_2+S_3P_1-4S_4$

Answer 2

Sugerencia:

\begin{align} \sum_{i=1}^4ai^2 &= \left(\sum{i=1}^4ai \right)^2-2\sum{i

También podría ayudar la fórmula de Vieta.

Answer 3

Sugerencia:

$$r_0^2+r_1^2+r_2^2+r_3^2=(r_0+r_1+r_2+r_3)^2-2(r_0r_1+r_0r_2+r_0r_3+r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)$$

y Vieta.