Mi hijo me planteó un problema interesante:
De todos los posibles polígonos inscritos en un círculo de radio $R$ , encuentra el que tiene la suma $S$ de longitudes laterales cuadradas maximizadas: $S=a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2$ con $a_i$ que representa la longitud del $i$ -ésima cara. El número de lados no es fijo, debes considerar todos los triángulos, cuadriláteros, pentágonos...
No es tan complicado, al menos al principio. Es fácil demostrar que el polígono óptimo (con $n>3$ ) no puede tener obtusos ( $>90^\circ$ ). Por ejemplo, si dicho ángulo $A_{i-1}A_{i}A_{i+1}$ existe, por el teorema del coseno:
$$|A_{i-1}A_{i}|^2+|A_{i}A_{i+1}|^2<|A_{i-1}A_{i+1}|^2$$
Así que si dejas caer los vértices $A_i$ se obtiene un polígono con un $S$ . Esto elimina rápidamente todos los polígonos con $n>4$ .
Todos los polígonos candidatos con $n=4$ deben ser rectángulos y si sus lados son $a$ y $b$ la suma $S$ es $2a^2+2b^2=8R^2$ . Así que con respecto a $S$ todos los rectángulos inscritos en el círculo son equivalentes. De hecho, un triángulo rectángulo con lados $a$ , $b$ y $2R$ tiene el mismo $S$ como cualquier rectángulo inscrito.
Pero quizás haya un triángulo inscrito con $S>8R^2$ . Pude demostrar que para un triángulo inscrito con lados $a,b,c$ y $b\ne c$ un triángulo isósceles con todos los ángulos agudos y base $a$ tiene un mejor valor de $S$ . Así que el triángulo óptimo debe ser isósceles. Mirando desde los tres lados, la única solución posible es el triángulo equilátero y la suma $S$ en ese caso es $9R^2$ .
Sin embargo, para demostrar este hecho he tenido que utilizar la trigonometría, que no es tan complicada (y puedo presentarla aquí si quieres), pero deja la impresión de que tiene que haber alguna explicación más sencilla de por qué el triángulo equilátero es la mejor opción. Mi prueba de trigonometría lleva unas cuantas líneas de texto, quiero algo más elegante.
Sólo una idea: si se trazan líneas por el centro del círculo perpendiculares a los lados de un triángulo y se denotan las longitudes de los pedales con $h_a,h_b,h_c$ es fácil demostrar que para maximizar $a^2+b^2+c^2$ hay que minimizar $h_a^2+h_b^2+h_c^2$ . Y entonces ¿qué?
EDITAR : Quiero presentar la parte de la prueba que no me gusta. Tomemos un triángulo arbitrario $ABC$ con los lados $a,b,c$ inscrito en un círculo. Considere el lado $a$ fija y juega con el ángulo $\gamma$ para obtener diferentes valores de $b,c$ . Quiero demostrar que el triángulo isósceles $BCA_1$ tiene mayor $S$ que cualquier otro triángulo con un lado igual a $a$ .
$$b=2R\sin\frac{\pi-\alpha+\gamma}{2}=2R\cos\left(\frac\alpha2-\frac\gamma2\right)$$
$$c=2R\sin\frac{\pi-\alpha-\gamma}{2}=2R\cos\left(\frac\alpha2+\frac\gamma2\right)$$
$$b^2=4R^2\cos^2\left(\frac\alpha2-\frac\gamma2\right)=2R^2(1+\cos(\alpha-\gamma))$$
$$c^2=4R^2\cos^2\left(\frac\alpha2+\frac\gamma2\right)=2R^2(1+\cos(\alpha+\gamma))$$
$$b^2+c^2=4R^2+2R^2(\cos(\alpha-\gamma)+\cos(\alpha+\gamma))=4R^2(1+\cos\alpha\cos\gamma)$$
Y esta suma logra el máximo obviamente para $\gamma=0$ o para $A\equiv A_1$ . Así que para cualquier lado dado $a$ , $b$ y $c$ debe ser de igual a igual. Pero se puede mirar el triángulo óptimo desde los lados $b$ y $c$ también. El único triángulo que no tiene mejor opción es el triángulo equilátero.
EDITAR 2: Este procedimiento de "vértice móvil" puede repetirse infinitas veces y el resultado es un triángulo equilátero. Consulta la excelente prueba de Noah Schweber aquí .
