Supongamos que tengo un operador lineal débilmente continuo T entre dos espacios lineales normados X e Y (es decir $x_n \stackrel {w}{\rightharpoonup} x$ en $X$ $\Rightarrow$ $T(x_n) \stackrel {w}{\rightharpoonup} T(x)$ en $Y$ ). ¿Implica esto que mi operador T debe estar acotado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En mi respuesta original sólo mencioné que funciona para $Y$ completa, pero como Nate señaló en un comentario, en realidad nunca usé la completitud de $Y$ .
La respuesta es sí. Las secuencias débilmente convergentes en un espacio normado están acotadas, como consecuencia del principio de acotación uniforme aplicado al espacio dual (que es un espacio de Banach) y del hecho de que una secuencia convergente de números reales (o complejos) está acotada. Si $T$ es ilimitada, entonces existe una secuencia $x_1,x_2,\ldots$ en $X$ que convergen en norma (y por tanto débilmente) a 0 tal que $\|T(x_n)\|\to\infty$ Por lo tanto, según la frase anterior, esto implica que $T(x_1),T(x_2),\ldots$ no converge débilmente.
