¿El límite de este paso infinito es un triángulo equilátero?

Question

Sólo por diversión (inspirada por el sub-problema descrito y respondidas aquí):

Vamos a elegir tres puntos en un círculo, decir $A,B,C$. Mover un punto ($A$ por ejemplo), hasta que el triángulo se convierte isósceles ($A'BC$) con todos los ángulos agudos:

Ahora tenemos el triángulo con los lados $AB$ $AC$ igual. Escoge cualquiera de los dos, decir $AC$ y se mueven $B$ hasta que el triángulo se convierte isósceles de nuevo, con todos los ángulos agudos:

Ahora tenemos un triángulo con lados de $AB$ $BC$ igual. Escoge cualquiera de los dos, decir $BC$ y se mueven $A$ hasta que el triángulo se convierte isósceles de nuevo, con todos los ángulos agudos:

Repetir el mismo proceso infinito número de veces.

Podemos probar que el resultado final es siempre un triángulo equilátero? Se ve así, pero puedo estar equivocado. He comprobado varias configuraciones iniciales y siempre terminaba con algo el aspecto de un triángulo equilátero.

Answer 1

Piense acerca de lo que sucede con la máxima diferencia entre los ángulos a lo largo del tiempo.

Por simplicidad, vamos a empezar con un isoceles triángulo con ángulos $x,y,y$. Este triángulo tiene "el máximo de la diferencia de ángulo" $\vert y-x\vert$. Luego, cuando nos movemos de una de las $y$-ángulo puntos, nuestro nuevo triángulo los ángulos

$$y, {x+y\over 2}, {x+y\over 2}$$

desde el ángulo del punto que se mueve, no cambia.La máxima diferencia de ángulos en este nuevo triángulo es

$$\left\vert {y\over 2}-{x\over 2}\right\vert={1\over 2}\vert y-x\vert.$$

Así, cada vez que llevamos a cabo esta transformación, la máxima diferencia de ángulo disminuye por un factor de dos. Cualquiera que sea el valor inicial $\vert y-x\vert$, esto significa que el ángulo máximo de la diferencia llega a cero,$^*$ lo que significa que en el límite de los ángulos son iguales.

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$^*$Esto es debido a que es una progresión geométrica con una relación en $(-1,1)$ (es decir, ${1\over 2}$): si $r\in(-1,1)$, entonces para cualquier $a$ hemos

$$\lim_{n\rightarrow\infty}ar^n=0.$$

Tenga en cuenta que podría no haber sido suficiente para saber simplemente que el ángulo máximo de la diferencia disminuye, ya que no todos disminución de la secuencia va a cero!!!

Answer 2

Según el Teorema del Ángulo Inscrito , mover un vértice alrededor del círculo conserva el ángulo en ese vértice. Ahora, supongamos que, en la etapa$i$, el ángulo del vértice es$\theta_i$, de modo que los ángulos base son$\frac12(\pi - \theta_i)$. Pero este ángulo de vértice era el ángulo de base del paso anterior, dando esta recurrencia$\theta_{i} = \frac12(\pi-\theta_{i-1})$. Por lo tanto, $$ \begin{align}\theta_n &= -\frac12\theta_{n-1} + \frac12\pi \\[6pt] &=\frac12\left(-\frac12(\pi-\theta_{n-2})+\pi\right) = \frac14\theta_{n-2}+\frac12\pi-\frac14\pi \\[6pt] &= \cdots \\[6pt] &= \left(-\frac12\right)^{n}\theta_0 \;-\; \sum_{i=1}^n\left(-\frac12\right)^{n}\pi \\[6pt] \lim_{n\to\infty}\theta_n &= 0\cdot\theta_0 \;-\; \frac{(-1/2)}{1-(-1/2)}\pi \\ &=\frac{\pi}{3} \end {align} $$

Por lo tanto, en el límite, el triángulo se vuelve equilátero. $\square$

Answer 3

Asumir WLOG que el primer triángulo es isoceles. Deje $\alpha$ ser el ángulo apical, y deje $\beta$ ser un resto de ángulo. A continuación, la transformación en cuestión envía

$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}\text{.}$$ Deje $\mathsf{X}$ $2\times 2$ matriz de transformación en el lado derecho. $\mathsf{X}$ ha polinomio característico $x^2-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}=0.$ Por la de Cayley–Hamilton teorema, $$\mathsf{X}^2=\tfrac{1}{2}\mathsf{X}+\tfrac{1}{2}\text{.}$$ Por lo tanto tenemos una Sylvester fórmula $$f(\mathsf{X})=f(1)\left(\frac{1+2\mathsf{X}}{3}\right)+f(-\tfrac{1}{2})\left(\frac{2-2\mathsf{X}}{3}\right)$$ para cualquier polinomio $f$ (donde las matrices en paréntesis se encuentran las Frobenius covariants). Por lo tanto, $$\mathsf{X}^n=\frac{1+2\mathsf{X}}{3}+(-\tfrac{1}{2})^n\left(\frac{2-2\mathsf{X}}{3}\right)\text{.}$$ El segundo término converge a cero, de modo que $$\begin{split} \lim_{n\to\infty}\mathsf{X}^n&=\frac{1+2\mathsf{X}}{3}\\ &=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\text{,} \end{split}$$ $$\lim_{n\to\infty} \begin{bmatrix}0 & 1 \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac{\alpha+2\beta}{3}\\ \tfrac{\alpha+2\beta}{3}\end{bmatrix}\text{.}$$ es decir, la apical y lateral ángulos de enfoque de la igualdad como se repite la operación.