Si aún no lo ha hecho, usted debe consultar a Cox, Poco, y O'Shea Ideales, Variedades, y los Algoritmos: que tratar este problema exacto en el Capítulo 3 de la Eliminación, en particular en $\S3$ Implicitization. El principal resultado es el siguiente teorema.
Teorema 1 (El Polinomio Implicitization)
Si $k$ es un infinito campo, vamos a $F: k^m \to k^n$ ser la función determinada por el polinomio de parametrización
\begin{align*}
x_1 &= f_1(t_1, \ldots, t_m)\\
&\ \, \vdots\\
x_n &= f_n(t_1, \ldots, t_m) \, .
\end{align*}
Deje $I = \langle x_1 - f_1, \ldots, x_n - f_n \rangle$ y deje $I_m = I \cap k[x_1, \ldots, x_n]$ $m^\text{th}$ eliminación ideal. A continuación, $\mathbb{V}(I_m)$ es la variedad más pequeña en $k^n$ contiene $F(k^m)$.
Para su problema en particular, he utilizado Sage para calcular una base de Gröbner.
R.<s,t,u,x1,x2,x3,x4,x5> = PolynomialRing(QQ,8, order = 'lex')
I_gens = [x1 - s^4, x2 - t^4, x3 - u^4, x4 - s^8*u, x5 - t^12*u^3]
I = ideal(I_gens)
basis = I.groebner_basis()
Por otro teorema, los generadores de contenidos en esta base sólo implican las variables $x_1, \ldots, x_5$ formulario de una base de Gröbner para la eliminación ideal. En este caso, son
$$
\{x_1^8 x_3 - x_4^4,
x_1^6 x_5 - x_2^3 x_4^3,
x_1^4 x_5^2 - x_2^6 x_3 x_4^2,
x_1^2 x_2^3 x_3 - x_4 x_5,
x_1^2 x_5^3 - x_2^9 x_3^2 x_4,
x_2^{12} x_3^3 - x_5^4\}.
$$
En particular, esto muestra que los polinomios se encuentra no generan $\mathbb{I}(V)$, ya que por ejemplo, el segundo generador de $g_2 = x_1^6 x_5 - x_2^3 x_4^3 \in \mathbb{I}(V)$ pero $g_2 \notin \langle x_{4}x_{5} - x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}, x_{1}^{8}x_{3} - x_{4}^{4}, x_{5}^{4} - x_{2}^{12}x_{3}^{3} \rangle$.
