Clase de equivalencia de los números reales

Question

Llamar equivalentes a dos números reales si su expansión decimal binaria difiere en una cantidad finita de posiciones, si S es un conjunto que contiene un elemento de cada clase de equivalencia, ¿debe S contener un intervalo?

¿Cómo demostrar que cada intervalo contiene un (¿número incontable de?) elemento de cada clase de equivalencia?

Answer 1

Parte añadida: Producimos un conjunto acotado $S$ que contiene un miembro de cada clase de equivalencia pero no contiene un intervalo. Toda clase de equivalencia cumple $[0,1]$ ya que para cualquier $x$ podemos, haciendo un número finito de cambios en los bits de $x$ producir un $x'\in [0,1]$ .

Utilice el axioma de elección para seleccionar $S\subset [0,1]$ tal que $S$ contiene precisamente un miembro de cada clase de equivalencia. Dos racionales diádicos cualesquiera (expresados en última instancia $0$ ) pertenecen a la misma clase de equivalencia, por lo que $S$ contiene exactamente un racional diádico. Como los racionales diádicos son densos en los reales, esto significa que $S$ no puede contener un intervalo de longitud positiva. (Fin de la parte añadida)

Todo intervalo no vacío $I$ contiene un miembro de cada clase de equivalencia. Sea $I$ sea un intervalo (finito), y sea $a$ sea su punto medio. Supongamos que $I$ tiene longitud $\ge 2\times 2^{-n}$ . Sea $x$ cualquier número real. Cambiando los bits iniciales de $x$ para que coincidan con los bits iniciales de $a$ hasta $n$ lugares después del punto "decimal", podemos producir un $x'$ equivalente a $x$ que está a una distancia inferior a $2^{-n}$ de $a$ .

Edita: La pregunta ha cambiado para preguntar si cada intervalo contiene un número incontable de miembros de cada clase de equivalencia. Una pequeña modificación del primer párrafo muestra que todo intervalo contiene un contablemente infinito número de miembros de cada clase de equivalencia. Como señala Asaf Karagila, no se puede obtener más, ya que cada clase de equivalencia es en sí misma contable. (El conjunto de lugares donde hay "cambio" puede identificarse con un subconjunto finito de los números enteros, y $\mathbb{N}$ sólo tiene un número contable de subconjuntos finitos).

Answer 2

En primer lugar, una precisión técnica: para las expansiones terminales en binario, como 1 o ½, hay que elegir una de las dos expansiones binarias válidas para representarlas: por ejemplo, 1,000... o 0,111... en el caso de 1. Esto es necesario para que las clases de equivalencia estén bien definidas. Podemos establecer la convención de elegir siempre la expansión que termina.

A continuación, puedes resolver tu problema haciendo las siguientes observaciones:

• Para una clase de equivalencia dada E y un representante fijo e ∈ E ¿cómo se puede caracterizar un x ∈ E en relación con e ? ¿Cuáles son las implicaciones para la cardinalidad de E ?

• ¿Existe algún tipo de intervalo especialmente sencillo que es ¿se garantiza que contiene al menos un representante de cada clase de equivalencia? ¿Puede demostrar que tous contiene estrictamente un intervalo de este tipo (y, por tanto, también contiene infinitos)?

• Considere una partición de ℝ en los números racionales e irracionales. Puedes encontrar una manera de seleccionar representantes para cada clase de equivalencia de los racionales, y también para los irracionales, de tal manera que su unión no contenga ningún intervalo?

Creo que este enfoque debería ser bastante sencillo.