¿Cuáles son las tres raíces cúbicas de $1-i$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar las tres raíces cúbicas de $1-i$ y no estoy seguro de cómo proceder. Mi profesor de matemáticas me recomendó que utilizara la fórmula de De Moivre, pero no sé cómo configurarla. ¿Cómo me sugiere que continúe?

fórmula de Moivre

$$(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$$

Answer 1

Trabaja exponencialmente: Escribe $1-i$ en la forma polar $z=1-i=re^{i\theta}$ . Le dejo a usted la tarea de encontrar $r$ y $\theta$ . Ahora, supongamos $w=se^{i\rho}$ satisface $w^3=z$ . Entonces, por las reglas ordinarias de exponenciación, se tiene que $z=w^3=s^3e^{i3\rho}$ . De ello resulta la igualdad $re^{i\theta}=s^3e^{i3\rho }$ . Así, se obtienen dos ecuaciones: $r=s^3$ y $e^{i\theta}=e^{i3\rho}$ . Resolviendo la primera (que no es más que números reales) se obtiene la solución única $s$ es la raíz cúbica de $r$ . La segunda igualdad significa que $\theta$ y $3\rho$ difieren en un múltiplo de $2\pi$ para que $\rho =1/3 \cdot (\theta + 2\pi k)$ , $k=0,1,2$ que le ofrecen tres soluciones únicas.

Este es un método general que funcionará para extraer cualquier raíz de cualquier número complejo. La misma técnica funcionará para calcular logaritmos. Es completamente algebraico, lo que es bueno y malo. Es completamente algorítmico y a prueba de fallos, pero pierde el aspecto geométrico.

Answer 2

Dibújalo en el sistema de coordenadas, luego elige el tercio de su ángulo cerrado con el ala derecha de $x$ -eje (que contiene $1$ ): es decir, ahora $-45^\circ/3$ . Luego imagina el triángulo regular en el círculo alrededor de $0$ con este vértice en $-15^\circ$ .

La longitud (valor absoluto, distancia desde $0$ ) obtiene su raíz cúbica: $$(r(\cos\phi+i\sin\phi))^3 = r^3(\cos(3\phi)+i\sin(3\phi))$$

Answer 3

Express $1-i$ en forma polar:

$$1-i=\sqrt{2} e^{-i \pi/4}$$

De modo que

$$(1-i)^{1/3} = 2^{1/6} e^{-i \pi/12 + i k 2\pi/3}$$

Dónde $k \in \mathbb{Z}$ . Así que para encontrar tres raíces únicas, elige, $k \in \{0,1,2\}$ .

Answer 4

Sea $\zeta_n$ denotan la primera $n$ -enésima raíz de la unidad en el sentido contrario a las agujas del reloj desde $1$ .

Si estás familiarizado con las raíces de la unidad (o lo piensas gráficamente), recordarás que

$$\zeta_8 = \frac{1 + \mathbf{i}}{\sqrt{2}}$$

y así se puede determinar inmediatamente a partir de su posición gráfica en el plano

$$ 1 - \mathbf{i} = \sqrt{2} \zeta_8^7$$

Si sabes o puedes intuir algo de teoría de grupos, te darás cuenta de que porque $\zeta_8^8 = 1$ y porque $3$ y $8$ son relativamente primos, debería poder reescribir $\zeta_8^7$ como algo con un exponente divisible por 3. Por ejemplo

$$ \zeta_8^7 = \zeta_8^{15} $$

En este punto, las terceras raíces de $1 - \mathbf{i}$ son fáciles de determinar: son

$$ \sqrt[6]2 \zeta_8^5 \qquad \qquad \sqrt[6]2 \zeta_8^5 \zeta_3 \qquad \qquad \sqrt[6]2 \zeta_8^5 \zeta_3^2 $$

donde

$$ \zeta_3 = \frac{-1 + \sqrt{3} \mathbf{i}}{2} $$

Si quisiera, podría reescribirlas en términos de $\zeta_{24}$ porque $\zeta_8 = \zeta_{24}^3$ y $\zeta_3 = \zeta_{24}^8$ .

Si las dos últimas raíces de $1 - \mathbf{i}$ no son obvias, recuerde que todas las $n$ -raíces de un número difieren en $n$ -raíces de la unidad; es decir, si $y$ es un $n$ -enésima raíz de $x$ entonces también lo es $y \zeta_n$ . Esto es fácil de comprobar directamente tomando el $n$ -enésima potencia.

$$ (y \zeta_n)^n = y^n \zeta_n^n = y^n = x$$

Answer 5

Otra forma sin utilizar la fórmula de DeMoivre que funciona para raíces cúbicas es establecer

$x=1$ y $y=-i$ y luego encontrar cualquier raíz real de la siguiente ecuación

$$\frac{(-64a^9+(48x)a^6+((15(x)^2)-3(3y)^2)a^3+(x)^3)}{-64} = 0$$

Esto se amplía a $$a^9 - \frac{3}{4}a^6 - \frac{21}{32}a^3 - \frac{1}{64} = 0$$

y tiene tres raíces reales $a_1=\frac{1}{4}(\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16}); $$ a_2=\frac{1}{4}(-\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16}) $; $ a A continuación resolver las ecuaciones

$$a_1^3+3a_1b_1^2 = 1$$ $$a_2^3+3a_2b_2^2 = 1$$ $$a_3^3+3a_3b_3^2 = 1$$ (donde $1$ es el valor establecido como $x$ ) para $b_1$ , $b_2$ y $b_3$ o $b_1=\pm\frac{1}{4}(\sqrt[6]{432}-\sqrt[6]{16})i$ ; $b_2=\pm\frac{1}{4}(\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16})i; $$ b_3=\pm\frac{1}{2}(\sqrt[6]{16})i $ . So the three cube roots of $$ \sqrt[3]{1-i}$$ son

$$a_1+b_1=\frac{1}{4}(\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16})+\frac{1}{4}(-\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16})i$$

$$a_2+b_2=\frac{1}{4}(-\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16})+\frac{1}{4}(\sqrt[6]{432}+\sqrt[6]{16})i$$

$$a_3+b_3=\frac{1}{2}(-\sqrt[6]{16})+\frac{1}{2}(-\sqrt[6]{16})i$$

Combinaciones de $a_1$ , $a_2$ y $a_3$ y $b_1$ , $b_2$ y $b_3$ también dará las tres raíces de $\sqrt[3]{1+i}$ .