¿Cómo encuentro la ecuación de una línea tangente a una curva?

Question

Estoy dado de $x^2+2x-4$ $x=2$ y tengo que encontrar la línea tangente a esta curva en ese punto...

Answer 1

He aquí una expresión algebraica enfoque que evita el uso explícito de los derivados.

Se nos da una función cuadrática $f(x) = x^2 + 2x -4$, y queremos hallar la ecuación de la tangente a la parábola $y = f(x)$ en el punto de $(2, 4)$. (Tenga en cuenta que $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 - 4 = 4$.) Suponga que está dada por la ecuación $$ y = m(x-2) + 4, \etiqueta{$\ast$} $$ donde $m$ es su pendiente.

Vamos a considerar la intersección de la parábola con la recta tangente; esto está dado por el sistema de ecuaciones $$ \begin{cases} y &=& x^2 + 2x - 4, \\ y &=& m(x-2)+4. \end{casos} $$ En otras palabras, para encontrar la intersección, debemos resolver la ecuación cuadráticaecuación $ x^2 + 2x - 4 = m(x-2)+4$, o $$ x^2 + (2-m)x+(2m-8) = 0. \etiqueta{$\ast\ast$} $$ el uso de la fórmula cuadrática, como así $$ \frac{-(2-m)\pm\sqrt{(2-m)^2-4.1.(2m-8)}}{2.1} $$ Gráficamente es claro que la tangente cumple la parábola se cumple exactamente un punto, por lo que queremos $(\ast \ast)$ tener una solución única. Esto implica que el discriminante de $(\ast \ast)$ desaparece: $$ \begin{array}{crcl} &(2-m)^2 - 4 \cdot (2m-8) &=& 0 \\ \implies \qquad & m^2 - 12m + 36 &=& 0. \end{array} $$ Muy bien (aunque esto no es una coincidencia numérica), esta ecuación tiene una única solución a $m=6$: esta es la solución que estamos buscando. Conectar $m=6$$(\ast)$, obtenemos la ecuación de la tangente en a$(2, 4)$$y = 6x-8$.

Answer 2

Otro método que se puede utilizar, que es la que tradicionalmente se imparten antes de derivados es el límite (que son muy similares, pero esto es más intuitivo):

Deje $f(x) = x^2 + 2x - 4$ $f'(x)$ ser la línea tangente en cualquier punto de $a$ en la curva de $f(x)$

Diferencia cociente:

$$f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Lo que esto significa básicamente es que nos tomamos la pendiente entre dos puntos de $a$ $a+h$ $h$ pone muy pequeños o como $h\rightarrow0$ el punto de $a+h$ se acerca a $a$ hasta allí matemáticamente la pendiente es la tangente al punto de $a$.

$$f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{[(a+h)^2+ 2(a+h) - 4] - [(a)^2 - 2(a) - 4]}{h} $$ $$=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{[(h^2 + 2ah + a^2) + (2a + 2h) - 4] - [a^2 - 2a - 4]}{h}$$ $$=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^2 + 2ah + 2h}{h}$$ $$=\lim_{h \rightarrow 0} h + 2a + 2$$ $$= 2a + 2$$

Allí está la fórmula para la pendiente en cualquier valor de $a$ a lo largo de la curva de $f(x)$

Lo siento, no entendí tu post, ahora veo que usted desea que la ecuación!

Vamos a la derecha de la fórmula en la forma $y = mx + b$

Bueno, podemos comenzar con la búsqueda de la pendiente de la línea en $a = 2$

$$m = 2a + 2$$ $$= 2(2) + 2$$ $$= 6$$

El punto en el $x = 2$ $(2,4)$ ya que si sustituimos $x = 2$ a $f(x)$ terminamos con $y = 4$

Así,

$$y = mx+b$$ $$4 = 6(2) + b$$ $$4 - 12 = b$$ $$-8 = b$$

Por lo tanto, su ecuación es:

$$y = 6x - 8$$