pregunta de do carmo geometría difusa

Question

Yo mismo estoy estudiando geometría diferencial de Do carmo y no entendí la pregunta :

demuestre que si una superficie es tangente a un plano a lo largo de una curva , entonces los puntos de esta curva son parabólicos o planos .

En la pregunta no entendí la frase "la superficie es tangente a un plano a lo largo de una curva". Por favor, primero ayúdenme a entenderlo y después quizás me den pistas para la solución

Answer 1

Dejemos que $\pi$ sea su avión, y $C$ alguna curva contenida en $\pi$ . El significado de su problema sería que la superficie $S$ es tangente a $\pi$ en todos los puntos $x\in C$ . En otras palabras, la superficie toca el plano a lo largo de la curva $C$ (de forma tangencial).

Por ejemplo, el avión podría ser el $xy$ -plano, y su superficie podría ser un toroide que se apoya en este plano. Entonces el punto de contacto entre la superficie y el plano es un círculo.

Answer 2

Que una superficie $S$ es tangente a un plano dado $\pi$ a lo largo de una curva $\gamma$ significa que el plano tangente de $S$ en puntos de $\gamma$ es el plano dado $\pi$ . Por tanto, el plano tangente de $S$ es el mismo a lo largo de $\gamma$ . Entonces la derivada de un campo vectorial normal unitario de $S$ a lo largo de $\gamma$ es cero. Así que el operador de forma de $S$ en puntos de $\gamma$ tiene $\gamma'$ en su núcleo. Por último, hay que tener en cuenta que los puntos parabólicos o planares son puntos de $S$ donde el operador de forma tiene un núcleo, es decir, puntos donde la curvatura de Gauss desaparece.