Prueba que implica una igualdad integral definida que incluye un criterio de continuidad

Question

Permita que$f:[0,1]\to\Bbb R$ sea continuo y$\{a,b\}\subset\Bbb{R}_+$ tal que$0<a<b\leq1$. Demuestre que$$\int_0^1 {f\!\left(ax^n\right) - f\!\left(bx^n\right) \over x}\,dx = \frac1n\left( f(0) \ln \frac ba - \int_a^b{f(x)\over x}\,dx\right)$ $

He estado probando este problema por debajo de una hora. He pensado en tomar$f(0)=0$, pero el problema requiere una prueba. También he usado las sustituciones$ax^n=z$ y$bx^n=k$.

¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Primero, hacer cumplir la sustitución$x\mapsto x^{1/n}$ revela

$$ \begin{align} \int_0^1 \frac{f(ax^n)-f(bx^n)}{x}\,dx=\frac1n \int_0^1 \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx \end {align} $$

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En segundo lugar, es sencillo mostrar que

$$ \begin{align} \int_\epsilon^1 \frac{f(ax)}{x}\,dx-\int_\epsilon^1 \frac{f(bx)}{x}\,dx&=\int_{a\epsilon}^a \frac{f(x)}{x}\,dx-\int_{b\epsilon}^b \frac{f(x)}{x}\,dx\\\\ &=\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)}{x}\,dx-\int_a^b \frac{f(x)}{x}\,dx\\\\ &=f(0)\log(b/a) +\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)-f(0)}{x}\,dx-\int_a^b \frac{f(x)}{x}\,dx\\\\ \end {align} $$

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En tercer lugar, tenemos la estimación

ps

que se acerca a$$\left|\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)-f(0)}{x}\,dx\right|\le \int_{a\epsilon}^{b\epsilon} \frac{|f(x)-f(0)|}{x}\,dx\le \sup_{x\in[a\epsilon,b\epsilon]}|f(x)-f(0)| \log(b/a)$ como$0$ ya que$\epsilon \to 0$ es continuo.

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Finalmente, armarlo revela

ps

como se iba a mostrar!