Sé que, dado una extensión $F\big/K$, si hay una extensión intermedia normal, el subgrupo correspondiente de $\mbox{Gal}\left(F\big/K\right)$ es normal. El problema es que no veo por qué porque la definición de un subgrupo normal y la definición de una extensión normal significan cosas muy diferentes para mí. No sé por qué están relacionados. Espero que haya alguien que pueda arrojar algo de luz sobre esto. Gracias.
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Saif Bechan
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Sea $G$ el grupo de Galois de $F/K$, y sea $L$ una extensión intermedia. Entonces para cada $\sigma \in G$ tenemos una extensión conjugada $\sigma L$ que también es una extensión intermedia de $F/K$. La normalidad de $L/K$ significa que $\sigma L \subseteq L$ para todo $\sigma \in G$, o equivalentemente $\sigma L = L$ para todo $\sigma \in G$. Por la correspondencia de Galois, esto es equivalente a $\operatorname{Gal}(F/L) = \operatorname{Gal}(F/\sigma L)$ para todo $\sigma \in G$. Pero $\operatorname{Gal}(F/\sigma L) = \sigma \operatorname{Gal}(F/L)\sigma^{-1}$, como se puede ver fácilmente. Por lo tanto, la normalidad de $L/K$ es equivalente a $\operatorname{Gal}(F/L) = \sigma \operatorname{Gal}(F/L) \sigma^{-1}$ para todo $\sigma \in G, lo que significa que $\operatorname{Gal}(F/L)$ es un subgrupo normal de $\operatorname{Gal}(F/K)$.
