Valor más grande de una función desconocida evaluada a un valor x particular

Question

En primer lugar, disculpas por el título extremadamente vago; el problema en el que estoy trabajando no tiene un título específico.

Estoy intentando la siguiente pregunta pero estoy muy atascado:

Asumir la función $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ es continuamente diferenciable en $ \mathbb {R}$ . Asume también que $f(0) = 0$ y $f(x)f'(x) ≤ 2$ para todos $x \in \mathbb {R}$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de $f(4)$ ? (Pista: Mostrar que no se puede obtener un valor mayor; mostrar también que el valor que se da realmente se alcanza por lo menos con una función).

He visto preguntas similares a esta antes, sin embargo las funciones se definieron en un intervalo cerrado y limitado, lo que significa que el Teorema del Valor Medio podría ser utilizado, sin embargo, obviamente no es el caso aquí. He estado en ello durante un tiempo pero no he sido capaz de llegar a nada hasta ahora.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Hasta ahora he llegado a esto:

Se nos da que $f$ es diferenciable en $ \mathbb {R}$ y por lo tanto $f$ es continua en $ \mathbb {R}$ . En particular, $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4] \subset \mathbb {R}$ y diferenciable en el intervalo abierto $(0, 4)$ como se requiere para la aplicación del Teorema del Valor Medio para $f(x)$ en el intervalo $[0, 4]$ . Aplicando el MVT a $[0, 4]$ vemos que hay un número $c \in (0, 4)$ de tal manera que $$f'(c) = \frac {f(4)-f(0)}{4-0} = \frac {f(4)}{4}$$ $$ \Rightarrow f(4) = 4f'(c) \leq \frac {8}{f(c)}$$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí o si esto podría llevar a una solución...

Answer 1

Sabemos que $4$ es un límite superior, pero no puede ser alcanzado. (ya que $2 \sqrt x$ no es $ \mathcal C^1$ )
Si podemos demostrar que podemos acercarnos arbitrariamente a $4$ Entonces $4$ es el valor más grande. Para ello, intentaremos "parchear" $2 \sqrt x$ cerca de $0$ .

Considere la función: $$ f(x)= \begin {cases} ax^2 & \text {if $ x \in [0, \varepsilon ] $} \\ 2 \sqrt x -b & \text {if $ x \in [ \varepsilon ,4] $} \end {cases} $$

Queremos que nuestra función sea $ \mathcal C^1$ así que $f$ y $f'$ debe ser continuo en $ \varepsilon $ .
Esto nos da: $$ \begin {align} & \cases { a \varepsilon ^2=2 \sqrt\varepsilon - b \\ 2a \varepsilon =1/ \sqrt\varepsilon } \\ & \cases { a \varepsilon ^2=2 \sqrt\varepsilon - b \\ a=1/2 \varepsilon ^{3/2} } \\ & \cases { b=2 \sqrt\varepsilon - \sqrt\varepsilon /2=3 \sqrt\varepsilon /2 \\ a=1/2 \varepsilon ^{3/2} } \end {align}$$

Ahora tenemos que comprobar si nuestra función satisface la condición: Para $x \in [0, \varepsilon ]$ $$ax^2 2ax=2a^2x^3 \leq 2 \frac {1}{4 \varepsilon ^3} \varepsilon ^3 \leq1 /2<2 $$ Y para $x \in [ \varepsilon ,4]$ $$ \frac {2 \sqrt x-b}{ \sqrt x}=2-b/ \sqrt x \leq2 $$

Así que nuestra función es válida, ( $ \mathcal C^1$ y satisface la desigualdad) ahora sólo tenemos que comprobar su valor en $4$ : $$f(4)=4-3 \sqrt\varepsilon /2 $$ Lo que se acerca arbitrariamente a $4$ como $ \varepsilon $ se acerca a $0$ .

Answer 2

Deje que $g=f^2$ . Luego $g$ no es negativo, $C^1$ , $g(0)=0$ y $g'(x) \le4 $ . De ello se deduce que $g(x) \le4\ ,x$ y $f(x) \le2\ , \sqrt x$ para $x \ge0 $ . Supongamos que $g(a)<a$ para sone $a \in (0,4)$ . Luego $$ g(4)=g(a)+ \int_a ^4g'(t)\,dt \le g(a)+4(4-a)<16. $$ Por lo tanto, ig $g(4)=16$ Entonces $g(x)=4\,x$ . Esto implica que si $f(4)=4$ entonces $f(x)=2\, \sqrt x$ que no es $C^1$ .