Distribución de dos eventos dependientes a partir de tres variables aleatorias independientes

Question

Decir que tenemos tres me.yo.d variables aleatorias $X,Y,Z$. Cada uno tiene pdf $f(\cdot)$ y el cdf $F(\cdot)$, y además, la diferencia de cualquiera de los dos (por ejemplo,$Y-X$) ha pdf $f_d(\cdot)$ y el cdf $F_d(\cdot)$.

El problema es calcular la probabilidad de que estos dos eventos que ocurren: $Pr(Y-X<c\cap Z-X<d)$ para $c,d$.

Por lo tanto, queremos: $Pr(Y-X<c)\cdot Pr(Z-X<d|Y-X<c)$

Por el momento, estoy trabajando específicamente en $X\sim N(0,1)$, lo $Y-X \sim N(0,2)$, pero sabiendo la respuesta general sería útil.

1. Hace este cálculo depende en saber si $c>d$?
2. ¿Cuál es la respuesta? :)

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Debido a $Y$ $Z$ son independientes, son independientes condicional en $X$ también: por definición, significa que el condicional de probabilidad de la intersección de los eventos es el producto de la probabilidad condicional. Por lo tanto, desde la adición de $X$ a ambos lados de todas las desigualdades no cambiar,

$$\eqalign{ \Pr(Y-X\lt c,\ Z-X\lt d) y= \Pr(Y \lt c+X,\ Z \lt d+X) \\ &=\int_\mathbb{R}\Pr(Y\lt c+X,\ Z\lt d+X\a mediados de X=x)\mathrm{d}F(x)\\ &=\int_\mathbb{R}\Pr(Y\lt c+X\a mediados de X=x)\Pr(Z \lt d+X\a mediados de X=x)\mathrm{d}F(x) \\ &=\int_\mathbb{R} F(c+x)F(d+x)\mathrm{d}F(x). }$$

Esto no simplificar aún más en general.

1. Evidentemente el orden de $c$ $d$ no importa. (Desde $Y$ $Z$ son intercambiables, esa conclusión no requiere ningún cálculo).

2. Incluso para distribuciones Normales esta integral es probable que requiera la integración numérica , excepto en casos especiales. Por ejemplo, con $c=d=0$ la integral es, claramente,$\int_\mathbb{R}\mathrm{d}\left(\frac{1}{3}F(x)^3\right)=1/3$.

Answer 2

Una alternativa de cálculo, aplicable para el caso especial de los considerados por la OP donde $X,Y,Z$ son independientes aleatoria normal estándar de las variables (o, más en general, yo.yo.d. $N(\mu,\sigma^2)$ variables aleatorias, para el caso) es para nota que $Y-X$ $Z-X$ $N(0,2\sigma^2)$ variables aleatorias con el coeficiente de correlación de $$\rho = \frac{\operatorname{cov}(Y-X,Z-X)}{2\sigma^2} = \frac{\operatorname{var}(X)}{2\sigma^2} = \frac 12$$ y así, para este caso especial, $\Pr(Y-X < c, Z-X < d)$ puede ser expresada en términos de la bivariadas normal de la función de distribución de $L(h,k,\rho)$ $$\Pr(Y-X < c, Z-X < d) =L\left(-\frac{c}{\sigma},-\frac{d}{\sigma},\frac 12 \right).$$ La función de $L(h,k,\rho)$ se sabe que tiene valor $L(0,0,\rho) = \frac 14+\frac{\arcsin \rho}{2\pi}$ lo que equivale a $\frac 14 + \frac{\pi/6}{2\pi} = \frac 13 ~ \text{when}~ \rho = \frac 12$ como en whuber la respuesta.