Un problema de geometría - probar que 3 puntos son colineales.

Question

Que $ABCD$ ser un paralelogramo y $G$ el centro de gravedad (el punto de intersección de las medianas) $\triangle ABC$. $M \in AD$ y $D \in NC$.

Demostrar que $G,M,N$ son colineal si y sólo si $\displaystyle \frac{CN}{ND}-\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}.$

No sé nada acerca de este problema, parece duro para mí. ¿Cómo puedo usar la noción de colinealidad sabiendo Rapport?

¡Gracias!

Answer 1

La configuración del problema es "afín invariante", lo que implica que asumimos $ABCD$ a ser un cuadrado en el $(x,y)$-plano. En otras palabras, podemos introducir coordenadas $(x,y)$ tal que $$A=(0,0), \ B=(1,0), \ C=(1,1), \ D=(0,1), \ N=(u,1), \ M=(0,v)\ ,$$ donde los números $u$, $v\in{\mathbb R}$ tiene ciertos valores. De ello se desprende que $G=\bigl({2\over3},{1\over3}\bigr)$ y por lo tanto $$\vec{GM}=\left(-{2\over3}, v-{1\over3}\right),\quad \vec{GN}=\left(u-{2\over3}, {2\over3}\right)\ .$$ Los tres puntos $G$, $M$, $N$ están en la línea de si el "vector de producto" $\vec{GM}\wedge\vec{GN}=0$, lo que significa que $u$ $v$ han de satisfacer $$-uv +{2\over3} v+{1\over3}u-{2\over3}=0\ .\qquad(*)$$ En el otro lado $${CN\over ND}={u-1\over -u}\ ,\quad {AM\over MD}={v\over 1-v}\ ,$$ y se puede comprobar con facilidad que ${CN\over ND}-{AM\over MD}={1\over2}$ es equivalente a $(*)$.

Answer 2

Vamos a la línea a través de $G$ paralelo a $AB$ se cruzan $BC$$X$, y la línea a través de $G$ paralelo a $BC$ se cruzan $AB$$Y$. Marca la longitud de $GX$$a$, y la longitud de $GY$$b$. Su fácil probar que $a = AB/3$ $b = BC/3$ al resolver el sistema de ecuaciones de las líneas de AG y CG.

Deje $T$ ser la intersección de $GY$$CD$. Mediante el uso de los triángulos semejantes $NDM$ $NTG$ obtenemos:

$\frac{ND}{MD} =\frac{NT}{GT} =\frac{ND + 2a}{2b} = \frac{ND}{2b} + \frac{a}{b}$

multiplicar por: $\frac{3b}{ND}$

$\frac{3b}{MD} = \frac{3}{2} + \frac{3a}{ND}$ (1)

Reordenando la ecuación original y el uso de (1) obtenemos:

$\frac{CN}{ND} - \frac{AM}{MD} = \frac{3a + ND}{ND} - \frac{3b - MD}{MD} = \frac{3a}{ND} - \frac{3b}{MD} + 2 = \frac{1}{2}$

Esta fue la 'sólo si' parte de 'si y sólo si'. Para el 'si' parte, debido a que sólo se utilizan las igualdades, y cada una ecuación equivalente a la anterior, podemos decir que a partir de

$\frac{CN}{ND} - \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}$

se sigue que

$\frac{ND}{MD} =\frac{NT}{GT}$

Esto, junto con el hecho de que los ángulos correspondientes son iguales debido a que las líneas paralelas, demuestra que los triángulos $NDM$ $NTG$ son similares.

A partir de la similitud, tenemos que el ángulo de $\angle MND = \angle GNT$.

$M$, $D$, y $T$ son colineales, por lo $\angle GND = \angle GNT$.

A partir de las dos últimas frases: $\angle MND = \angle GND$, que es una prueba de que $N$, $M$, y $G$ son colineales.