Para decirlo brevemente: En el modelo de la teoría, nos permite interpretar cualquier relación símbolo en cualquier manera que nos gusta. Entonces, ¿por qué la gente parece exigir que "$=$" se interpreta como la igualdad efectiva?
Permítanme elaborar un poco más. En el modelo de la teoría, como yo imperfectamente entender, uno empieza con una letra del alfabeto $\Sigma$ que consiste en la capacidad de la función y relación de los símbolos; por ejemplo, para ordenó campos podríamos tomar a $\Sigma = \{\cdot,+,<,0,1\}$. A estos, se añaden símbolos para las variables de $x_1,x_2,\dots$ y lógica de los símbolos $\vee, \wedge, \forall, \exists, \dots$. El uso de estos, podemos formar términos (bien formado expresiones que describen los elementos del conjunto) y oraciones (expresiones, que puede ser verdadero o falso). Si suponemos que algunos de $A$ de las sentencias para ser verdad (axiomas), entonces el conjunto de todas sus consecuencias lógicas, decir $T$, es una teoría. Una teoría puede ser interpretada por la primera elección de un conjunto de $X$ a de trabajo, y, a continuación, asignar a la función y relación de símbolos de funciones reales ($X^k \to X$) y las relaciones ($X^k \to \{\top,\bot\}$). Esto se debe hacer de tal manera que los axiomas son satisfechos.
Mi problema es que la igualdad parece ser tratados de una manera diferente a la de otras relaciones, y no acabo de ver por qué. Tal y como yo lo entiendo, que es el que normalmente se requiere para ser la "verdadera" identidad: $x = y$ significa que $x$ $y$ son el mismo elemento de $X$. ¿Hay alguna razón para no tratar "$=$" sólo como un simple relación (con los axiomas de ser una relación de equivalencia + para cada relación símbolo axioma "si $x_1 = y_1,\dots,x_k=y_k$, $R(x_1,\dots,x_k)$ fib $R(y_1,\dots,y_k)$" )? ¿Qué podría ir mal si lo hicimos?
(La razón por la que estoy pidiendo es principalmente que a mí me parece que esto haría que algunas de las construcciones más elegantes (como el ultraproducts) mediante la eliminación de un cociente.)
