¿Debe existir siempre un elemento normal con espectro no discreto en un álgebra C* de dimensión infinita?

Question

Supongamos que $A$ es una dimensión infinita $C^*$ -álgebra. ¿Es cierto que debe existir un elemento normal con espectro no discreto? Si no es así, ¿debe existir al menos un elemento normal con espectro infinito?

Edición: Para aclarar, por espectro discreto me refiero a que el espectro está formado sólo por puntos aislados. Como el espectro es cerrado, es lo mismo que decir que no tiene puntos de acumulación.

También he encontrado, a través de MathOverflow, lo siguiente artículo que afirma que si $A$ es semisimple existe un elemento autoadjunto en $A$ con espectro infinito.

Answer 1

Sí, es verdad. Como se menciona en el artículo al que has enlazado en la Observación de la página 4, toda álgebra C* de dimensión infinita contiene un elemento autoadjunto con espectro infinito. (En contexto, ayuda saber que toda álgebra C* es semisimple.) Se da una referencia a "Finite dimensionality of certain Banach algebras" de Ogasawara, que no parece estar disponible en línea. (No tengo a mano una referencia o prueba más fácilmente accesible.) Obsérvese que los únicos subconjuntos discretos compactos de $\mathbb C$ son los subconjuntos finitos, así que tus dos preguntas son la misma.

Answer 2

Los operadores en un espacio de Hilbert de dimensión infinita de la forma $\alpha I + K$ donde $K$ es un operador compacto forma una dimensión infinita $C^*$ -en la que cada elemento tiene un espectro discreto.