$e^Ae^B$ Cuando $A$ y $B$ anticommute

Question

Saber que si viaje de #% ($A,B$ matrices reales) %#% y $n\times n$. ¿Existe una identidad similar cuando $e^{A}e^B = e^{A+B}$ anticonmutar?

Answer 1

La respuesta más general está dado por la fórmula de panadero-Campbell-Hausdorff:

$$ e^X e^Y = e^{X+Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \cdots} $$

Que reduce y $e^X e^Y = e^{X+Y}$ si el conmutador $[X,Y] = XY-YX$ $0$ $e^X e^Y = e^{X+Y + \frac{1}{2}[X,Y] }$ si $[X,[X,Y]] = [Y,[Y,X]] = 0$.

Sin embargo, para matrices anti-conmutativa $XY = -YX$ se encuentra que en la expansión de la serie infinitamente muchos términos son cero, por ejemplo, $[X,[X,\ldots [X,[X,Y]]]] = 2^k X^k Y$