Encontrar todas las formas canónicas racionales de una matriz en $M_{5}(\mathbb{Q})$ dado que es un polinomio mínimo?

Question

Dada una $5\times 5$ matriz $A$ en $\mathbb{Q}$ con un polinomio mínimo $p(x)=(x-2)(x^{2}+1)^{2}$ ¿Cómo puedo encontrar todas las posibles formas canónicas racionales de A? ¿Cómo encuentro cuántas clases de semejanza existen con el mismo polinomio mínimo? ¿Cuántas formas canónicas de Jordania de A existen si en lugar de ello tomamos la matriz para tener entradas en $\mathbb{C}$ ? Y en ese caso, ¿cuántas clases de similitud existen?

Answer 1

En general, una buena táctica es pensar en las posibles Formas normales de Smith que están en biyección con las clases de similitud. El último polinomio del grupo es el polinomio mínimo, y el producto de todos los $\alpha_i$ es el polinomio característico.

En este caso, el polinomio mínimo $p(X)$ es de grado $5$ que es del mismo grado que el polinomio característico, por lo que sólo hay una posible forma normal de Smith, dada por $1,1,1,1, p(x)$ . Por lo tanto, sólo hay una clase de similitud posible de matrices que satisfacen la condición que usted afirma (sobre $\mathbb{Q}$ o sobre $\mathbb{C}$ .

Answer 2

Se nos da que $A\in M_{5\times 5}(\Bbb Q)$ y que \begin{align*} \textstyle{\min_A}(t) &= (t-2)\left(t^2+1\right)^2 \\ &= t^5-2\,t^4+2\,t^3-4\,t^2+t-2 \end{align*} Desde $\deg\min_A(t)=5$ se deduce que $\min_A(t)=\DeclareMathOperator{char}{char}\char_A(t)$ . Así, el racional forma canónica de $A$ es simplemente la matriz compañera de $\min_A(t)$ $$ \begin{bmatrix} 0&0&0&0&2\\ 1&0&0&0&-1 \\ 0&1&0&0&4\\ 0&0&1&0&-2\\ 0&0&0&1&2 \end{bmatrix} $$ Para calcular las posibles formas de Jordan $J$ de $A$ , obsérvese que los valores propios de $A$ son \begin{align*} \lambda_1 &= 2 & \lambda_2 &= i & \lambda_3 &= -i \end{align*} y que las multiplicidades algebraicas de los valores propios son \begin{align*} \DeclareMathOperator{amult}{amult}\amult(\lambda_1) &=1 & \amult(\lambda_2) &= 2 & \amult(\lambda_3) &= 2 \end{align*} Desde $\min_A(t)=\char_A(t)$ sabemos que los tamaños del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda_1$ , $\lambda_2$ y $\lambda_3$ son $1$ , $2$ y $2$ respectivamente. ¿Qué dice esto sobre $J$ ?