En un grupo cíclico de orden$n$, un elemento se puede escribir como$k$ th power y$(n,k)$ power de igual manera?

Question

Supongamos $\langle x\rangle$ es un grupo cíclico de orden $n$. Es sabido que cualquier $k$th el poder puede ser escrito como una $d$th poder donde se $d=(n,k)$.

Mi pregunta es, ¿por qué el número de maneras de expresar un elemento como un $k$th potencia igual al número de formas para expresar como una $d$th poder?

Edit: Para que quede claro, yo entiendo que cualquier $k$th el poder es una $d$th poder y viceversa. Lo que quiero preguntar es que si un elemento $a$ ser expresado como $k$th poder en decir $m$ diferentes maneras, es decir, $a=b^k$ $m$ diferentes $b$, entonces ¿porqué $a=c^d$ $m$ diferentes $c$?

Esta pregunta fue inspirado por una respuesta en el hilo Mismo número de soluciones a$ax^m+by^n\equiv c\pmod{p}$$ax^{m'}+by^{n'}\equiv c\pmod{p}$. pero sentí que era un útil suficientes hecho para justificar su propio post.

Answer 1

Desde $d = rn+sk$ para los números enteros $r$ $s,$ cada expresión como una $d$-ésima potencia puede ser reescrito como un $k$-th el poder desde $y^{rn} = 1$ todos los $ y \in \langle x \rangle.$ Por otro lado, desde la $d$ divide $k,$ cada expresión como una $k$-ésima potencia puede ser reescrito como un $d$-ésima potencia.

Respuesta ampliada a la vista de las preguntas en los comentarios. Set $X = \langle x \rangle,$ y escribir $k = ed$ para algunos entero $d.$ Tenga en cuenta que $y \to y^{e}$ es un bijection desde el set de $d$-th poderes en $X$ en el conjunto de la $k$-th poderes en $X.$ Surjectivity es clara, mientras que si tenemos $v^{k} = w^{k},$, luego tenemos a$u^{d} = u^{rn+sk} = u^{sk} = v^{sk} = v^{rn+sk} = v^{d},$, lo que muestra tanto de inyectividad, y que $u \to u^{s}$ es la inversa mapa de nuevo desde el set de $k$-th poderes para el conjunto de la $d$-th poderes.

En particular, si $y^{k} = 1,$ $y^{d} = y^{sk} = 1.$ $y \to y^{k}$ es un homomorphism de $X$ $X$(pero no tiene que ser surjective). Por la discusión anterior, su núcleo es el conjunto de soluciones en $X$ $y^{d} = 1.$ Hay $d$ este tipo de soluciones, desde la $d$ divide $n$ $X$ es cíclico de orden $n.$

Ahora cada una de las $d$-ésima potencia en $X$ $d$- ésima potencia de exactamente $d$ diferentes elementos. Por otro lado, si $u^{k} = v^{k},$, luego tenemos a$(uv^{-1})^{k} = 1,$, de modo que $(uv^{-1})^{d}= 1,$ y hay sólo $d$ posibilidades de $uv^{-1}.$ Por lo tanto todos los $k$-ésima potencia es el $k$-ésima potencia de exactamente $d$ diferentes elementos.