¿Podemos obtener una respuesta correcta cuando agregamos fracciones de manera incorrecta?

Question

¿Hay dos fracciones$\frac{a}{b}$ y$\frac{c}{d}$ que

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$$ with conditions $ HCF (a, b) = 1$ and $ HCF (c, d) = 1$ and $ b \ ne d $

Acabo de simplificar la ecuación dada y tengo$$ad^2=-b^2c$$ so one of $ a$ and $ c $ debe ser negativo. Entonces, ¿hay alguna posibilidad de tales fracciones?

Answer 1

$ad^2=-b^2c$

$gcd(a,b)=1$ =>$a|c\enspace$ y$\enspace gcd(c,d)=1$ =>$c|a$,$\enspace$ por lo tanto$a=\pm c$

$gcd(a,b)=1$ =>$b|d\enspace$ y$\enspace gcd(c,d)=1$ =>$d|b$,$\enspace$ por lo tanto$b=\pm d$

$ad^2=-b^2c\enspace$ =>$\enspace a=-c$

$b=-d$ no es posible (-> denominador$b+d$) y por lo tanto$b=d$ que no está permitido aquí por las condiciones. Por lo tanto, no hay solución.

Answer 2

Usted ha demostrado que al menos uno de ellos debe ser negativo.

Por otro lado, es fácil mostrar$$\frac{a+c}{b+d} \le max(a/b, c/d) < a/b + c/d$ $ si todos son positivos.

Answer 3

La relación que deriva $ad^2=-b^2c$ demuestra que uno de $a,c$ debe ser negativa, por lo que no hay solución con todos los positivos.

Para mostrar que la igualdad no es posible, incluso con números negativos, tenga en cuenta que esto implica:

• $a \mid b^2 c$, lo que da $\gcd(a,b)=1$ implica $a \mid c$, y, en particular,$|a| \le |c|\;$;

• $d^2 \mid b^2 c$, lo que da $\gcd(d,c)=1$ implica $d^2 \mid b^2$, lo $d^2 \le b^2$; desde $b \ne d$ $b \ne -d$ (de lo contrario el RHS denominador $b+d$ desaparecerían) la desigualdad estricta de la siguiente manera $d^2 \lt b^2$.

La multiplicación de las dos desigualdades anteriores da $|a|\; d^2 \lt |c|\; b^2$ lo que se contradice con la inicial de igualdad. Por lo tanto, no hay ninguna solución en los números enteros negativos.

Answer 4

Con su ecuación, podemos deducir que$b^2\mid |d| $ y que$d^2 \mid |b|$ (use factorización prima única). ¿Puedes ver por qué esto es imposible (si$|b| \neq |d|$)?