Significado de $\dfrac{x-y}{y}$ frente a $\dfrac{x}{y}-1$

Question

Estoy tratando de entender lo que probablemente es un concepto matemático bastante simple, pero esto se me escapa por alguna razón. ¿Por qué los resultados de estas dos expresiones son iguales? Gracias por cualquier respuesta.

$$\frac{x-y}{y}$$

$$\frac{x}{y}-1$$

Answer 1

Si quieres una respuesta informal en lugar de una prueba algebraica, mira si esto te ayuda.

Suponga que tiene $x$ caramelos (o dulces, o caramelos, según el país en el que te encuentres) para repartirlos a partes iguales entre $y$ niños. Cada uno recibirá $x/y$ caramelos.

Ahora supongamos que antes de compartir los caramelos, $y$ de ellos desaparecen mágicamente. Entonces cada niño recibirá un chupetín menos, es decir, cada uno recibirá $$\frac{x}{y}-1$$ caramelos. Pero viéndolo de otra manera, ahora hay $x-y$ piruletas, por lo que cada niño recibirá $$\frac{x-y}{y}$$ de ellos. Por lo tanto, estos dos números deben ser iguales.

Answer 2

Se trata de la ley distributiva : $$ \frac{x-y}{y} = \frac{1}{y}(x-y) = \frac 1y x - \frac 1y y = \frac xy - 1 $$

Answer 3

Ya que hay una sustracción en el numerador:

$$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$$

Answer 4

multiplicar ambas expresiones por $y$ para que $$\frac{x-y}{y}$$ se convierte en $x-y$ y $$\frac{x}{y}-1$$ se convierte en $y(\frac{x}{y}-1)=x-y$ .

Answer 5

Una pista: ¿Qué harías si la pregunta fuera:

$$\frac{x-2}{2}$$

o $$\frac{x-3}{3}$$

o $$\frac{x-4}{4}$$

etc. Intenta encontrar un patrón.