Producto de colectores y orientabilidad

Question

Estoy estudiando la orientabilidad de manifolds actualmente y tengo problemas para probar lo siguiente:$M\times N$ es orientable iff$M$ y$N$ son orientables.

Puedo demostrar que el producto es orientable si los componentes son orientables (el gráfico es$\{(U_\alpha\times V_{\beta},\phi_\alpha\times \psi_\beta):(\alpha,\beta)\in A\times B \}$ y$\det J=\det J_1 \det J_2>0$ según el teorema de Cauchy-Binet), pero no sé cómo probar la otra dirección.

Entonces, ¿por qué esto se cumple: si$M\times N$ es orientable, entonces$M$ y$N$ son orientables?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Si $M\times N$ es orientable, cualquier submanifold es orientable. Podemos elegir un subconjunto abierto $U\subset N$ diffeomorphic a $\mathbb R^n$, e $M\times U\equiv M\times\mathbb R^n$ es orientable. Por inducción es suficiente para ver que si $M\times\mathbb R$ es orientable, entonces $M$ es orientable. Elija cualquier abra la cubierta $\{W_i\}$ $M$ tal que hay diffeomorphisms $\varphi_i:\mathbb R^m\to W_i$. La cubierta de la ${\mathcal A}=\{W_i\times\mathbb R\}$ es un atlas con el proceso de parametrización $\psi_i=\varphi_i\times Id:\mathbb R^{n+1}\to W_i\times\mathbb R$. Luego, si es necesario podemos modificar cada uno de los $\psi_i$ por cambio de signo de la primera variable en $\mathbb R^{n+1}$ sea compatible con una orientación fija en $M\times\mathbb R$. Esto cambia en consecuencia el $\varphi_i$. Por lo tanto ${\mathcal A}$ es positivo y hemos $$ J(\psi_j^{-1}\circ\psi_i)=\begin{pmatrix} J(\varphi_j^{-1}\circ\varphi_i)&0\\0&I \end{pmatrix}, $$ por lo tanto $J(\varphi_j^{-1}\circ\varphi_i)=\det J(\psi_j^{-1}\circ\psi_i)>0$. Así el $\varphi_i$'s son positivos atlas de $M$. Hemos terminado.

Answer 2

Estoy tratando de seguir la solución sugerida. Como cualquier subvariedad abierta de$M \times N$ es orientable, entonces$M \times \mathbb{R}^{n}$ también es orientable. No estoy seguro de entender cómo mostrar que si$M \times \mathbb{R}$ es orientable, también$M$. La inducción está en$n$? Si es así, ¿cuál es el caso base de inducción?