Fórmula Grassman para dimensiones de espacio vectorial

Question

Si $U$ $W$ son subespacios de un número finito de dimensiones de espacio vectorial, $$ \dim U + \dim W = \dim(U\cap W) + \dim(U + W)$$

Prueba: supongamos $B_{U\cap W} = \{v_1,\ldots,v_m\}$ ser una base de $U\cap W$. Si ampliamos la base para $B_U = \{v_1,\ldots,v_m, u_{m+1}, \ldots, u_r\}$ $B_W = \{v_1,\ldots,v_m, w_{m+1},\ldots,w_s\}$ $S:=\{v_1,\ldots,v_m,u_{m+1},\ldots,u_r, w_{m+1},\ldots,w_s\}$ es un generador de $U+W$. Ahora tengo que demostrar que $S$ es linealmente independiente: $$ 0 = \sum_{i=1}^m a_i v_i + \sum_{j=m+1}^r b_j u_j + \sum_{k=r+1}^s c_k w_k \implica que v = \sum_{i = 1}^m a_i v_i+\sum_{j=m+1}^r b_j u_j = -\sum_{k=r+1}^m c_k w_k $$

es un vector de $U\cap W$ $b_j = 0$ desde $B_U$ es independiente. Por lo tanto, $0 = \sum_{i=1}^m a_i v_i + \sum_{k=m+1}^s c_k w_k$ y, desde $B_W$ es independiente tenemos que $a_i = c_k = 0$, e $\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W)$.

Pregunta: no puedo entender por qué $v\in U\cap W$, ya hemos expresado como combinación lineal de las bases de la $U$.

Gracias de antemano!

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos dos expresiones para$v$. El primero es$\displaystyle\sum_{i = 1}^m a_i v_i+\sum_{j=m+1}^r b_j u_j$, que es una combinación lineal de$\{v_i,u_j\}$ y, por lo tanto,$v$ es un elemento de$U$. El otro es$\displaystyle -\sum_{k=r+1}^m c_k w_k$, que es una combinación lineal de$\{w_k\}$ y, por lo tanto,$v$ es un elemento de$W$. El segundo se parece a lo que te perdiste.