¿Pesos en la base de Dynkin y valores propios de los generadores de Cartan para SU(3)?

Question

El Cartan Generadores de $SU(3)$ en las tres dimensiones de la rep tiene autovalores $(1,-1,0)$$\frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,-2)$. Por lo tanto tenemos los pesos:

$$ (1,\frac{1}{\sqrt{3}}) \quad (-1,\frac{1}{\sqrt{3}}) \quad (1,\frac{-2}{\sqrt{3}}) $$

En el Dynkin base a los pesos de las 3 dimensiones de la rep son

$$ [1,0] \quad [-1,1] \quad [0,1] $$

¿Cómo son estas conectado a los valores propios de la Cartan generadores citado anteriormente? Pensé que por la multiplicación de los pesos en el Dynkin base con el correspondiente tensor métrico (=la inversa de la matriz de Cartan) de $SU(3)$:

$$ G=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Por ejemplo,

$$ G [1,0] = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} $$

Por desgracia, esto produce que el mal pesos. Lo que está mal y cómo puedo calcular correctamente los valores propios de la Cartan generadores de los pesos en el Dynkin base?

Answer 1

La cosa es que, por la multiplicación de los pesos en el foso de Dynkin base con el tensor métrico, obtenemos el peso de la raíz simple. Si queremos saber el peso en términos de la Cartan generador de $H_1,H_2,...$ autovalores, necesitamos utilizar el simple raíces en esta base.

Para $SU(3)$ el simple raíces se $\alpha_1= (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2} H_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} H_2 $ (la última igualdad debe ser entendida simbólicamente) y $\alpha_2= (\frac{1}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2})$.

Entonces podemos reescribir el peso que he calculado en la po $ \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} = \frac{2}{3} \alpha_1 + \frac{1}{3} \alpha_2$. El uso de la forma explícita de la simple raíces de los rendimientos

$$\frac{2}{3} \alpha_1 + \frac{1}{3} \alpha_2 = \frac{2}{3} \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{-\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2\sqrt{3}}\end{pmatrix}$$

Ahora, recordando que nuestros generadores son, de hecho, $ \frac{1}{2} $ veces el Gell-Mann matrices de esto es el peso correcto en términos de los valores propios de los generadores de Cartan.