Que $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que la integral impropia $$\int1^\infty f(x) \ dx$$ exists. Show or disprove that $\lim \limits {x \to \infty} f (x) = 0$.
Nuestro profesor dice que hay contraejemplos, pero después de freír mi cerebro a todavía no pudo encontrar ninguno. Suena lógico.
Suena plausible, especialmente por analogía con la serie infinita. Pero sí, hay contraejemplos. He aquí uno:
Considere una función continua que es cero, excepto para los triángulos, centrado en los números enteros, de altura 1 y el área que va como $1/2^n$. Entonces la integral va a existir, pero la función en sí, no converge a cero.
Añadido: áspero de Un diagrama (gráfico de la función es cero para todos los $x \geq 1$ excepto para los dos lados de los triángulos isósceles de altura 1, longitud de la base $2^{-(n-2)}$ centrada sobre cada entero $n \geq 2$; el área del triángulo sobre el entero$n$$2^{-(n-1)}$.)
Luego de dicha función, $$\lim_{x\to\infty} \int_1^x f(x) \ dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=2}^N 2^{-(n-1)} = 1$$
sin embargo $\lim_{x\to\infty} f(x)$ no existe.
El contraejemplo puede ser más exóticos, por lo que le será ilimitado: dejar que el triángulo isósceles más entero $n$ han altura $n/2$ y la longitud de la base $(n2^{n-3})^{-1}$; cada triángulo área permanece $2^{-(n-1)}$.
Este es un ejemplo de simple contador. $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ if }x \in \mathbb{Z}^+\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}$$
En caso de que usted está después de una función infinitamente diferenciable, considerar $f(x) = \sin(x^2)$. Tenemos $$\int0^{\infty} \sin\left(x^2 \right) dx = \dfrac12 \sqrt{\dfrac{\pi}2}$ $ pero $\lim{x \to \infty} \sin\left(x^2 \right)$ no existe.
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