Lebesgue frente a la medida de recuento en $[0,1]$

Question

Si $X = [0,1]$ y dejamos que $m$ sea la medida de Lebesgue sobre $[0,1]$ y $\nu$ sea la medida de recuento en $[0,1]$ ¿son ciertas las siguientes afirmaciones?

1. El único subconjunto $S \subset [0,1]$ que es de medida cero con respecto a la medida de recuento es $\{\}$ . Por lo tanto, la medida de recuento es completa en $[0,1]$ .

2. La medida de Lebesgue no es completa en $[0,1]$ ya que existen subconjuntos patológicos de conjuntos nulos en $[0,1]$ que, sin embargo, no son medibles por Lebesgue.

3. La medida de recuento no es $\sigma$ -finito en $[0,1]$ ya que no existe un número contable de subconjuntos finitos de $[0,1]$ podría cubrir $[0,1]$ (que tiene incontables puntos).

4. La medida de Lebesgue es $\sigma$ -finito en $[0,1]$ desde $m([0,1]) = 1$ implica $m$ es finito en $X$ y por lo tanto $m$ es trivialmente $\sigma$ -finito en $X$ también.

¿Son todas correctas?

Answer 1

Los argumentos expuestos en 1, 3 y 4 son ciertamente correctos.

Sin embargo, si yo fuera tu profesor, te diría que el argumento en 2 está incompleto sin dar un conjunto nulo específico $X\subset[0,1]$ y subconjunto no medible por Lebesgue $Y\subset X$ . ¿Por qué no intenta encontrar uno?