Resolución de una relación de recurrencia con un término de raíz cuadrada

Question

Últimamente estoy intentando aprender a resolver algunas relaciones de recurrencia y no tengo ni idea de cómo haría para resolver algo así, si es posible.

$T(n) = a \cdot T(n-1) + b \cdot \sqrt{T(n-1)}$

Mi principal problema es que no tengo ni idea de cómo trabajar con el término de la raíz cuadrada. El contexto de este problema es en realidad en la economía. Cuando se mira el nivel de capital en algún momento $t$ es igual a alguna constante de la tasa de depreciación, $a$ veces el capital en el momento $t-1$ sumado a alguna constante de la tasa de ahorro, $b$ el nivel de salida en el momento $t-1$ . En un caso básico consideramos que la producción es la raíz cuadrada del capital y por eso hay un término de raíz cuadrada.

Pasé algún tiempo probando cosas al azar y no tuve mucha suerte, así que cualquier ayuda, si es posible, sería muy apreciada.

Answer 1

A partir de ahora asumimos que $a,b$ están cada uno en el intervalo $(0,1)$ como se menciona en los comentarios (excluyendo los puntos finales ya que estos conducen a un comportamiento extraño).

Establecer $S(n)=\sqrt{T(n)}$ esto satisface $$S(n)=\sqrt{a S(n-1)^2+bS(n-1)}$$

Podemos encontrar sus puntos fijos resolviendo $S=\sqrt{aS^2+bS}$ son $S=0$ y $S=\frac{b}{1-a}$ . Queremos demostrar que $\frac{b}{1-a}$ es atractivo . Establecemos $f(x)=\sqrt{ax^2+bx}$ y (con la ayuda de un poco de alfa ) calcula $$f'\left(\frac{b}{1-a}\right)=\frac{a+1}{2}$$

Desde $|\frac{a+1}{2}|<1$ la función iterada siempre convergerá.

Por lo tanto, la secuencia $T(n)$ siempre tenderá a $\frac{b^2}{(1-a)^2}$ como $n\to \infty$ .

Answer 2

Me parece que sería más fácil modelar el problema como una ecuación diferencial en lugar de una relación de recurrencia. Es decir, tendríamos una ecuación de la forma $$\frac{dT}{dt} = aT + b\sqrt{T} \text{.}$$ Esa ecuación diferencial es separable resolverlo es tan difícil como integrar $\int \frac{1}{aT + b\sqrt{T}} dT$ . Puedes integrar ese término racionalizando el denominador y utilizando fracciones parciales.

Al final, obtendrás una ecuación que describe la solución implícitamente es decir, en el mismo sentido que $x^2 + y^2 = 1$ describe el círculo unitario. Además, si su problema real es realmente discreto en el tiempo, esto obviamente sólo se aproximará a la respuesta correcta. Sin embargo, incluso con estas dos advertencias, la solución le dará bastante información asintótica. Y, si necesitas calcular valores precisos, puedes hacer que un ordenador calcule directamente los términos de la recurrencia.

En general, ten en cuenta que, aunque las ecuaciones diferenciales pueden parecer más complicadas que las recurrencias, el cálculo es en realidad muy potente y hace que las ecuaciones diferenciales sean generalmente más fáciles de trabajar.