¿Por qué existen métricas de Zoll en $S^2$ y $RP^2$?

Question

Zoll métrica en un colector de Riemann es una métrica para que todos geodesics están cerrados y tienen el mismo período. Por cierto, un standart métrica en la esfera de la $S^2$ tiene esta propiedad: todos sus geodesics son grandes círculos del período $2 \pi$. Proyectiva del espacio $RP^2$ como un factor de $S^2$ siempre con la canónica métrica también tiene todos los geodesics cerrados, y de la misma longitud $\pi$. Había un montón de trabajo que hacer (Curtiembre, Zoll, Funk, Guillemin y otros) el estudio de Zoll superficies. Por ejemplo, un teorema de Green muestra que no hay ninguna que no sea trivial Zoll métricas en $RP^2$. Por el contrario, hay una abundancia de tales indicadores en la esfera de la $S^2$, incluso sin trivial isometrías.

Mi pregunta es ¿por qué Zoll métricas existen sólo en la esfera y su factor de $RP^2$? Por supuesto, aquí puedo restringir el mismo a la $2$-dimensional caso. La evidencia de que es cierto que se menciona en el libro de A. Besse "Colectores cuya geodesics están cerrados". El estilo del libro es muy formal y la instrucción está demostrado en tal generalidad que es imposible de entender. Debe haber algún fácil topológico argumento, pero no lo encuentro.

Answer 1

Tengo la respuesta. Se puede probar que el grupo fundamental de Zoll superficie tiene que ser (si no trivial) cíclico y, en consecuencia, $\mathbb Z_2$. De ello se desprende del hecho de que todos los geodesics son homotópica.

La prueba es la siguiente:

1. En cada clase de equivalencia homotópica en el grupo fundamental de la Zoll superficie hay una geodésica (esto es sólo la consecuencia del hecho de que podemos minimizar la longitud en cada homotopy clase).

2. Dos geodesics en el Zoll superficie son homotopically equivalente. De hecho, acaba de tomar algún punto en el unitario tangente de la fibra correspondiente a la primera geodésica (un punto de la mentira en la geodésico y un vector tangente) y el análoga par de punto-vector para el segundo. Cualquier ruta de acceso en la $T_1 S^2$ le dará un homotopy.

3. Así, a partir de $1.$ $2.$ tenemos que $\pi_1$ de un Zoll superficie es cíclica, es decir, vamos a $a$ ser su generador (si es que no es trivial). A continuación, $a$ es homotopically equivalente a sí mismo en otra dirección $a^{-1}$. Por eso, $\pi_1$ es trivial o $\mathbb{Z}_2$. De modo que la superficie es $S^2$ o $\mathbb RP^2$.