Explicar que la interpretación geométrica de un par de función armónica conjugada entre sí.

Question

Explicar que la interpretación geométrica de un par de función armónica conjugada entre sí.

¿Me podrias ayudar? Me pregunto cómo dibujarlo pero lamentablemente mi imaginación abstracta no puede hacer frente con ella.

Answer 1

Deje $u$ $v$ dos armónica de funciones definidas en una región $\Omega\subset{\mathbb R}^2$. Entonces ambos se $C^1$ a empezar. Por lo tanto, $u$ $v$ tener gradientes $\nabla u:=(u_x,u_y)$, $\>\nabla v:=(v_x,v_y)$, que son campos vectoriales definidos en $\Omega$. La función de $v$ es armónica conjugada de a $u$ si en cada punto de $(x,y)\in\Omega$ el vector $\nabla v(x,y)$ se obtiene girando el vector $\nabla u(x,y)$ hacia la izquierda por $90^\circ$.

En términos de los componentes de $\nabla u$ $\nabla v$ esto significa que tenemos $$v_x(x,y)=-u_y(x,y), \quad v_y(x,y)=u_x(x,y)\qquad\forall\>(x,y)\in\Omega\ ,$$ y esto es equivalente a la condición de que $f(x+iy):=u(x,y)+iv(x,y)$ es una analítica de la función de $z=x+iy$$\Omega$.

Answer 2

Dos funciones armónicas conjugadas si puede ser escrito como partes real e imaginaria de un holomorphic función en algunos dominio abierto.

Un ejemplo es el de las funciones trigonométricas $\sin$$\cos$. Son armónica conjugada a cada uno de los otros, porque se puede escribir \begin{equation*} \cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{i\theta} \end{ecuación*} que es el círculo unitario.

Tenga en cuenta que este holomorphic función tiene un cero, que es un número complejo que aniquilar a la función en ese punto. Los conjugados armónicos puede ser pensado como trayectorias ortogonales a cada lejos de este punto(s) (por definición, están en ángulos rectos unos con otros). Usted podría pensar acerca de esto de un argand'diagrama con la real y eje imaginario en ángulos rectos unos con otros.