Esperanza matemática condicional

Question

Deje $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ser un espacio de probabilidad, y deje $X$ ser estrictamente positivo de la variable aleatoria finita momentos de todos los pedidos (es decir, $E[X^q] < \infty$ todos los $1 \le q < \infty$). Deje $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ ser un sub-$\sigma$-campo. Para $p > 1$, me gustaría saber si se tiene que $$E \left[ \left( \frac{X}{E[X \mid \mathcal{G}]} \right)^p \right] < \infty.$$ Se sostiene claramente al $p=1$, cuando se $X$ $\mathcal{G}$medible, y al $X$ es independiente de $\mathcal{G}$. Pero no puedo encontrar una prueba o contraejemplo en general; las desigualdades he intentado parecen ir en la dirección equivocada.

Tenga en cuenta que no asumimos $E[X^{-1}] < \infty$.

Answer 1

No, no es necesariamente cierto. Fix $p>1$. Supongamos $a_n > 0$ todos los $n\in\mathbb{N}$$\sum a_n = 1$. Supongamos $0\le q_n \le 1$ todos los $n\in\mathbb{N}$ y $q_n$ es lo suficientemente pequeño que $$ (*)\ \ \ \ \ \ \ \frac{a_n}{q_n^{p-1}} \ge 2. $$ También, elija $v_n$ tal que $0<v_n<1$ y $$ (**)\ \ \ \ \ \ \ \ a_n q_n \left( \frac{1}{q_n + (1-q_n) v_n} \right)^p \ge 1. $$ Tal elección es siempre posible por la continuidad y el hecho de que, por $(*)$, la condición se mantenga con un montón de margen de si $v_n=0$.

Tome $\Omega = \mathbb{N}\times \{H,L\}$ con el discretos $\sigma$-álgebra y la probabilidad de medida dada por \begin{eqnarray} \mathbb{P} ( n, L ) &=& a_n (1 - q_n) \\ \mathbb{P} ( n, H ) &=& a_n q_n. \end{eqnarray} Deje $X$ ser la variable aleatoria tal que $X(n, H) = 1$$X(n,L) = v_n$. Desde $0<X\le1$, $X$ es estrictamente positiva y $\mathbb{E}(X^s)\le1$ todos los $s\ge 0$. Deje $\mathcal{G}$ $\sigma$- álgebra generada por todos los eventos de la forma $\{(n, H), (n,L)\}$. De manera informal, en $\mathcal{G}$, $n$ es conocida pero no se sabe si $H$ o $L$ en la actualidad. Entonces $$ \mathbb{E}(X|\mathcal{G}) = q_n + (1-q_n) v_n, $$ así \begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[\left(\frac{X}{\mathbb{E}(X|\mathcal{G})}\right)^p\right] &=& \sum_n a_n q_n \left(\frac{1}{q_n + (1-q_n) v_n}\right)^p + a_n (1-q_n) \left(\frac{v_n}{q_n + (1-q_n) v_n}\right)^p. \end{eqnarray} La serie diverge por $(**)$.