Diferencia entre un campo vectorial y un campo de fuerza

Question

En matemáticas, al aprender sobre los campos vectoriales, definimos un "campo vectorial" como " una función del espacio cuyo valor en cada punto es una cantidad vectorial ". Es decir, en cada punto en el espacio hay una cantidad vectorial adjunta.

Ahora bien, si hablamos de un campo de fuerza que experimenta un objeto tridimensional, la "fuerza en una determinada posición del objeto tridimensional" no puede interpretarse como "que actúa en un punto". En cambio, la fuerza está actuando sobre todo el objeto tridimensional.

Entonces, ¿cómo se puede justificar que el "campo de fuerza" sea un "campo vectorial" en el sentido de la definición anterior de campo vectorial?

Answer 1

La fuerza actúa sobre cada elemento de un objeto 3d.

Tomemos por ejemplo un objeto cargado en 3D. Las cargas pueden estar distribuidas de cualquier manera. Pueden ser uniformes o no. Un lado puede estar cargado positivamente, el otro negativo. Y así sucesivamente.

Ese objeto 3d tiene un elemento de carga que existe en cada punto. (Más precisamente: en cada elemento de volumen infinitesimal.) Cada elemento de carga experimenta la fuerza determinada por el valor del campo vectorial en el punto. La fuerza sobre el objeto es la suma vectorial de todas esas contribuciones.

Es posible encontrar un punto que tenga la propiedad de que el movimiento de traslación del objeto actúe como si la carga total del objeto estuviera concentrada en ese punto. Se podría llamar "centro de carga", pero como señalas, no se suele oír hablar de algo así. Es decir, tomar esa carga en ese punto (que resulta ser el carga total ), y multiplique por el valor del vector campo eléctrico en ese punto, y obtendrá la fuerza sobre el objeto en su conjunto.

El hecho de que haya un punto que pueda considerarse "donde actúa la fuerza" es una consecuencia de la suma, no es fundamental y tiene algunas limitaciones. En cierto sentido es una ilusión. Sólo funciona si puedes permitirte modelar tu objeto como una partícula puntual. Por ejemplo, no puedes usarlo para calcular el par de torsión.

Imagina que tu objeto es un cubo que está uniformemente cargado positivamente en su mitad "izquierda", y está uniformemente cargado positivamente en su mitad "derecha", y tiene carga total cero. En un campo eléctrico uniforme no habrá ninguna fuerza sobre el objeto. El "centro de carga" tendrá $q=0$ . El mismo resultado se obtiene sumando las fuerzas sobre todos los elementos de carga del cubo.

Sin embargo, ¡el cubo girará! Habrá un par de torsión en el cubo.

Ahora bien, es posible que no te importe que gire. Si lo único que te importa es la trayectoria del objeto, lo único que te importa es la fuerza. En tal caso, puedes permitirte modelar el objeto como un punto, y el enfoque del "centro de carga" te dará lo que quieres. Pero si te interesa la rotación, no puedes permitirte modelar el objeto como un punto, y no puedes utilizar el modelo de partículas puntuales. Si le interesa la energía cinética total, tendrá que incluir la energía cinética de rotación y de traslación. El enfoque del "centro de carga" no puede proporcionarte eso. El modelo de partículas puntuales es demasiado simple para tener en cuenta la energía cinética rotacional.

Hay una cita atribuida a Einstein, pero tengo mis dudas sobre quién la dijo primero: "Haz tus modelos tan simples como sea posible, pero no más simples".

Answer 2

Un campo vectorial define una situación en la que la magnitud y la dirección de los vectores son una función de la ubicación únicamente. La mejor manera de entender esto es en un cuerpo rígido en rotación donde la velocidad lineal de cada partícula $\boldsymbol{v}$ depende de su ubicación $\boldsymbol{r}$ .

$$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} $$

Para describir dicho campo vectorial definimos un "vector axial" $\boldsymbol{\omega}$ que se coloca en el origen para describir la rotación del objeto. Esta rotación tiene las siguientes propiedades

• Magnitud, $\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$
• Dirección, $\boldsymbol{k} = \frac{ \boldsymbol{\omega}}{\omega} $
• Ubicación, el origen.

Ahora, vamos a dar la vuelta a nuestra perspectiva para establecer un paralelismo con las fuerzas más adelante. Consideremos un cuerpo rígido que gira con un vector $\boldsymbol{\omega}$ sobre un lugar determinado $\boldsymbol{r}$ y medimos la velocidad lineal $\boldsymbol{v}$ en el origen .

$$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} $$

¿Describe esto un campo vectorial? Sí, ya que no hemos cambiado la naturaleza del problema, sino que hemos desplazado nuestra perspectiva. Aunque nos movamos alrededor del vector axial $\boldsymbol{\omega}$ en diferentes lugares, medimos el efecto en el origen. Aquí $\boldsymbol{v}$ sigue representando un campo vectorial, y $\boldsymbol{\omega}$ es el vector axial. Las propiedades son ahora

• Magnitud de la rotación, $\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$
• Sentido de giro, $\boldsymbol{k} = \frac{ \boldsymbol{\omega}}{\omega} $
• Ubicación del eje (recuperado de la velocidad), $\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{ \omega^2 }$

Prueba: $\require{cancel} \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{ \omega^2 } = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} )}{ \omega^2 } = \frac{ \boldsymbol{r} \omega^2 - \boldsymbol{\omega} \cancel{(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{\omega})}}{\omega^2} = \boldsymbol{r} $ con la regla de que $\boldsymbol{r}$ es el lugar del eje más cercano al origen.

Ahora veamos toda la situación similar y consideremos un cuerpo rígido con una fuerza $\boldsymbol{F}$ aplicado a través de una ubicación $\boldsymbol{r}$ y medimos el par equipolente $\boldsymbol{\tau}$ en el origen .

$$ \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} $$

¿Describe esto un campo vectorial? Sí, por las mismas razones que antes. Aquí $\boldsymbol{\tau}$ sigue representando un campo vectorial, y $\boldsymbol{F}$ es el vector axial. Las propiedades son ahora

• Magnitud de la fuerza, $F = \| \boldsymbol{F} \|$
• Dirección de la fuerza, $\boldsymbol{e} = \frac{ \boldsymbol{F}}{F} $
• Ubicación del eje (recuperado del troque), $\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}}{ F^2 }$

Así que la geometría de la mecánica dicta las siguientes definiciones.

$$\begin{array}{l|c|c} \mbox{quantitity} & \mbox{axial vector} & \mbox{moment vector} \\ \hline \mbox{motion} & \boldsymbol{\omega} & \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \hline \mbox{momentum} & \boldsymbol{p} & \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p} \\ \hline \mbox{loading} & \boldsymbol{F} & \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} \end{array}$$

Nota: prefiero el término vector de momentos del campo vectorial porque es más descriptivo de la situación específica.

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Aquí hay cierto margen de confusión debido a cómo se define el impulso de la línea.

El momento lineal (el vector axial) se define a partir de la velocidad (el campo vectorial) en un punto concreto (el centro de masa).

$$ \boldsymbol{p} = m ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{\rm com} ) $$

Las ecuaciones de movimiento relacionan la fuerza (vector axial $\boldsymbol{F}$ ) con la tasa de cambio de momento (vector axial $\boldsymbol{p}$ ). Las ecuaciones de rotación relacionan el par en el centro de masa (campo vectorial $\boldsymbol{\tau}_{\rm com}$ ) a la tasa de cambio del momento angular en el centro de masa (campo vectorial $\boldsymbol{L}_{\rm com}$ ).

Como puedes ver, las ecuaciones del movimiento son coherentes con la interpretación geométrica de la mecánica.

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{F} & = m (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_{\rm com}) + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{p} = m \boldsymbol{a}_{\rm com} \\ \boldsymbol{\tau}_{\rm com} & = \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L}_{\rm com} = \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\omega} \end{aligned} $$