¿Cómo diferenciar entre$(\lambda_{0}-\lambda)^{k} \,\text{and } g(\lambda) \,\text{in } f_{A}(\lambda)$?

Question

Por definición, $\lambda_{0}$ tiene multiplicidad algebraica $k$ si $\lambda_{0}$ es una raíz de $f_{A}(\lambda)=(\lambda_{0}-\lambda)^{k}g(\lambda)$. Lo que me estoy perdiendo de todo esto?

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$f_{A}(\lambda)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-1)^{2}\\\rightarrow\left\{\lambda_{1}=0\, | \,\text{almu}(\lambda_{1})=1\right\},\left\{\lambda_{2}=-1\, | \,\text{almu}(\lambda_{2})=1\right\},\left\{\lambda_{3}=1\, | \,\text{almu}(\lambda_{3})=2\right\}$

$f_{B}(\lambda)=-(\lambda+1)(\lambda^{2}+1)\rightarrow \left\{\lambda=-1\, | \,\text{almu}(\lambda)=1\right\}\\f_{C}(\lambda)=-(\lambda-1)(\lambda^{2}+\lambda+1)\rightarrow \left\{\lambda=1\, | \,\text{almu}(\lambda)=1\right\}\\f_{D}(\lambda)=-\lambda^{2}(\lambda+3)\rightarrow \left\{\lambda_{1}=0\, | \,\text{almu}(\lambda_{1})=2\right\},\left\{\lambda_{2}=-3\, | \,\text{almu}(\lambda_{2})=1\right\}$

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Tengo una sensación de hundimiento que mi problema en gran parte tiene que ver con la escuela primaria, el ejercicio de la búsqueda de las raíces de los polinomios, pero realmente no entiendo esto: $$\text{for }f_{B}(\lambda) \,\text{and } f_{C}(\lambda),\text{almu}(\lambda)=1, \text{but for }f_{D}(\lambda),\text{almu}(\lambda_{1})=2.$$ Is it because $(\lambda^{2}+1) \,\text{y } (\lambda^{2}+\lambda+1)$ no tiene raíces reales?

Puedo darme agradable heurística como "si el exponente en lambda es la parte de un producto, que almu; si el exponente en lambda es parte de una suma, no importa", pero esto parece descuidado.

¿Cómo puedo diferenciar entre el$f_{A}(\lambda)=(\lambda_{0}-\lambda)^{k}$$g(\lambda)$? Parece que puede ser cualquier valor real de la función.

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Relacionadas con la notación/formato de preguntas:

• ¿Cómo puedo ilustrar estas relaciones sin escribir almu todo el tiempo?

• Es habitual el uso de subíndices para $\lambda \ffi \exists \,\text{más de un autovalor}?$

• Puede $\text{almu}(\lambda)=0$?

Answer 1

• Definición:

  La definición de la multiplicidad algebraica $k$ de una raíz $\lambda_0$ de una función de $f_A$ además contiene ese $k$ es máxima. Así, \begin{align*} f_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^kg(\lambda)\quad\text{and}\quad g(\lambda_0)\ne 0\tag{1} \end{align*}

• Raíces:

  Las raíces $\lambda_0$ son elementos del dominio de $f_A$. De acuerdo con el dominio, normalmente $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$, usted tiene que buscar complejo o bienes raíces.

• Las convenciones de anotación:

  Debido a la maximality propiedad de $k$, siempre tenemos $\text{almu}(\lambda_0)=k$. Por lo tanto, el valor de $k$ (1) ya dispone de la información acerca de la algebraica multiplicidad de la raíz $\lambda_0$.

  Es sólo una cuestión de conveniencia de utilizar cualquiera de los subíndices o diferentes nombres sin los índices de las raíces. Por lo general, se puede utilizar el índice de notación si hay más de uno o dos raíces.

  La multiplicidad de una raíz de un polinomio es siempre un número natural $\geq 1$.