¿Falta de rigor en Spivak ' libro de calculo de s?

Question

Me he registrado hoy en día con esta pregunta exacta: Elipse definición

Me pareció desconcertante para él decir que estaba claro que $a > c$ al $a$ podría ser igual a $c$ (una línea recta) o tal vez incluso menos de $c$ (si los números complejos están permitidos). Así que él está asumiendo que no queremos una línea recta, y también que los números complejos, no están permitidos. Ninguno de estos supuestos fueron establecidos o explicado. Ni siquiera sé si los números complejos iba a funcionar, si cualquier suma en todos podían conseguirse. También no se indica que la fórmula no funcionaría por una línea recta; es sólo paliada por decir es 'claramente' no puede ser una línea recta.

Cogí el libro de Spivak, porque había oído que era muy riguroso, pero ahora me pregunto a) si la suposición no declarada y la falta de abordar concebible posibilidades es común en su libro, y b) si existen otras recomendaciones de libros para aprender cálculo con la exigencia de rigor en la mente.

Soy un poco reticente a continuar, como yo puede ser incapaz de decir si algo "borrar" para él no es claro para mí debido a mí no entender correctamente, o por no ser consciente de sus suposiciones. Como estoy tratando de aprender esto por mi cuenta, que no es una posición favorable para mí.

Answer 1

Creo que podemos afirmar con razón que una elipse es tanto $1)$ existente y $2)$ no es una línea recta.

La realidad es que, si hemos de $100\%$ riguroso en todo lo que decimos, cualquier libro de texto podría ser de miles de páginas de largo. Cada declaración tendría que ser demostrado a partir de los axiomas, y nadie quiere eso. Hay ciertas razonable cosas que puede y debe asumir.

También he de decir que entiendo la frustración. A veces los libros de texto son frustrantemente casual donde no quieres estar. Pero parte de la escritura de matemáticas implica el saber que las cosas están bien para excluir.

Answer 2

Buscando en el PM probablemente será una buena experiencia.

Como para el "rigor/de la transparencia", como otros han mencionado que cada línea escrita de matemáticas tendrá supuestos implícitos, y estos dependen del contexto. Cuando Spivak las solicitudes que $1\ne0$ él está hablando de los axiomas de los números reales; finalmente, las propiedades de los reales se toman para concedido (o qué se puede esperar axiomas cada vez que va desde, digamos, $5x+1=0$$x=-1/5$?).

En el caso concreto de la elipse, para cada punto de $(x,y) $ tenemos un triángulo donde un lado es $2c $ y la suma de los otros dos es $2a $. Esto implica inmediatamente que $c <a $. Spivak del razonamiento comienza a partir de la idea intuitiva de que la definición de la elipse en el avión real, por lo que es sonido.

Answer 3

Estoy de acuerdo con usted 100%: definición de Spivak es descuidado. Él dice:

Un pariente cercano del círculo es la elipse. Se define como el conjunto de puntos, la suma de cuyas Distancias desde dos puntos de "enfoque" es una constante.

Por esta definición, el segmento de línea entre los dos focos es una elipse. Cuando dice más adelante: "claramente debemos elegir $a > c$", es contradice su propia definición.