Si $a_{n+1}=\sqrt{a^2_{n}-2a_{n}+2}-1$, muestran que existe un % constante $c$tal $a_{2n}<c<a_{2n+1}?$

Question

sea secuencia ${a{n}}$, $a{1}=1$ y $$a{n+1}=\sqrt{a^2{n}-2a_{n}+2}-1$ $

probar o refutar: existe un % constante $c$tal %#% $ #%

mi idea: desde $$a_{2n}<c entonces="" gracias="" lo.="" no="" para="">Por cierto que este problema parece la forma es simple, pero cuando trato de resolver este problema, me enamoré, es muy difícil.

</c>

Answer 1

Considere la función $f\colon [0,1] \to [0,1]$ dada por $f(x)= \sqrt{(1-x)^2+1}-1$. $f$ es diferenciable en a $[0,1]$, con

$$f'(x) = \frac{x-1}{\sqrt{(1-x)^2+1}} < 0,$$

a excepción de $x = 1$, donde la derivada es cero. Por lo $f$ es estrictamente decreciente en a $[0,1]$, y tiene un único punto fijo $c = \frac{1}{4}$. Desde $f$ es estrictamente decreciente, tenemos

$$f(x) < c \iff x > c,$$

y viceversa. Desde $a_{n+1} = f(a_n)$$a_1 = 1 > c$, de hecho hemos

$$a_{2n} < c < a_{2n+1}$$

para todos los $n$.

Desde $\lvert f'\left(x\right)\rvert \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ para todos los $x\in [0,1]$, $f$ es una contracción, por lo que la secuencia converge al punto fijo, y la larga $(a_{2n})$ es estrictamente creciente, mientras que $(a_{2n+1})$ es estrictamente decreciente.