Demostrando que $\pi=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left(\frac{2^{2k+1}+(-1)^{k}}{(4k+1)2^{4k}}+ \frac{2^{2k+2}+(-1)^{k+1}}{(4k+3)2^{4k+2}}\right)$

Question

Hace mucho tiempo he sido playng con fórmulas para $\pi$ y se encontró que uno arriba en el título, que también puede ser expresado como $$\begin{align*} \;\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2^{4k+1}+1}{(8k+1)}+\frac{2^{4k+2}-1}{(8k+3)2^{2}}-\frac{2^{4k+3}-1}{(8k+5)2^{4}}-\frac{2^{4k+4}+1}{(8k+7)2^{6}} \right )\frac{1}{2^{8k}} \end{align*}$$

Por desgracia no puedo encontrar en mis notas cómo me derivados. Recuerdo que yo solía algún truco. He visto otras fórmulas similares en la Wikipedia pero no esta. ¿Alguien sabe cómo derivar este tipo de fórmulas?

Gracias.

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Sólo para aclarar: La fórmula en el título es sólo una versión acortada debido a que el segundo fue más de 150 caracteres y el sistema no lo aceptan, pero yo prefiero la segunda. Creo que es más elegante. Así que estoy buscando una manera de obtener cualquiera de los dos.

Answer 1

Nuestro objetivo es evaluar la suma $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2^{4k+1}+1}{\left(8k+1\right)}+\frac{2^{4k+2}-1}{2^{2}\left(8k+3\right)}-\frac{2^{4k+3}-1}{2^{4}\left(8k+5\right)}-\frac{2^{4k+4}+1}{2^{6}\left(8k+7\right)}\right)2^{-8k}.$$ We split this into two different convergent sums, $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\left(8k+1\right)}-\frac{1}{2^{2}\left(8k+3\right)}+\frac{1}{2^{4}\left(8k+5\right)}-\frac{1}{2^{6}\left(8k+7\right)}\right)2^{-8k}\ \ \ \ \ (1)$$ and $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2^{4k+1}}{\left(8k+1\right)}+\frac{2^{4k+2}}{2^{2}\left(8k+3\right)}-\frac{2^{4k+3}}{2^{4}\left(8k+5\right)}-\frac{2^{4k+4}}{2^{6}\left(8k+7\right)}\right)2^{-8k}.\ \ \ \ \ (2)$$ The sum $(1)$ is easily seen to be $$2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=2\arctan\left(\frac{1}{2}\right).$$ For the second sum, we may rearrange the terms and write it as $$\left(\sqrt{2}\right)^{3}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\left(8k+1\right)(\sqrt{2})^{8k+1}}+\frac{1}{\left(8k+3\right)(\sqrt{2})^{8k+3}}-\frac{1}{\left(8k+5\right)\left(\sqrt{2}\right)^{8k+5}}-\frac{1}{\left(8k+7\right)\left(\sqrt{2}\right)^{8k+7}}\right).$$ By considering generating functions of the form $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{8k+1}\left(x\right)^{8k+1}$, we see that the above is equal to $$\left(\sqrt{2}\right)^{3}\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{1+u^{2}-u^{4}-u^{6}}{1-u^{8}}du.$$ Making the substitution $u=\frac{x}{\sqrt{2}},$ nuestro objetivo es evaluar la integral

$$4\int_{0}^{1}\frac{x^{6}+2x^{4}-4x^{2}-8}{x^{8}-2^{4}}du.$$ Factoring the numerator as $x^{6}+2x^{4}-4x^{2}-8=(x^{2}-2)(x^{2}+2)^{2}$, and the denominator as $x^{8}-2^{4}=\left(x^{4}-2^{2}\right)\left(x^{4}+2^{2}\right)$podemos cancelar los factores comunes y llegar a la integral

$$4\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+2}{x^{4}+4}dx.$$ Since $x^{4}+4=\left(x^{2}-2x+2\right)\left(x^{2}+2x+2\right),$ podemos utilizar la fracción parcial de la descomposición de volver a escribir la anterior como

$$2\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}-2x+2}+\frac{1}{x^{2}+2x+2}dx.$$ Factoring the denominators as $(x-1)^2+1$ and $(x+1)^2+1$, we see that this is in fact twice the integral of $\frac{1}{x^{2}+1}$ from $0$ to $2$, which is $2\arctan(2)$. Thus, adding the results for series $(1)$ and series $(2)$ together, we find that the original sum equals $$2\left(\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\arctan\left(2\right)\right)=\pi,$$ como se desee.

Answer 2

Ver la actualización de la respuesta a la pregunta. A continuación sigue una prueba de que la serie son los mismos.

Aquí está cómo lo hice: Tenga en cuenta que cada número entero positivo puede escribirse como un número par o impar (de la forma $2k$ $k \in \mathbb{N}$ $2k+1$ respectivamente). Entonces, ya que su suma pasa a través de todos los enteros, es el mismo que: $$\begin{align} &\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{2^{4k+1}+1}{(8k+1)}+\frac{2^{4k+2}-1}{(8k+3)2^{2}}-\frac{2^{4k+3}-1}{(8k+5)2^{4}}-\frac{2^{4k+4}+1}{(8k+7)2^{6}} \right)\frac{1}{2^{8k}}\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{2k}\ \left(\frac{2^{4k+1}+(-1)^{2k}}{(8k+1)2^{8k}}+ \frac{2^{4k+2}+(-1)^{2k+1}}{(8k+3)2^{8k+2}} \right)\\ &+\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{2k+1} \left(\frac{2^{4k+3}+(-1)^{2k+1}}{(8k+5)2^{8k+2}}+ \frac{2^{4k+4}+(-1)^{2k+2}}{(8k+7)2^{8k+3}}\right) \end{align}$$

La suma de dos expresiones son simplemente su cantidad original, pero con $2k$ $2k+1$ insertada en lugar de k.

Actualización

No he entendido la pregunta. Cómo derivar esta serie debe ser fácil de encontrar aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula