En primer lugar, recordemos que la prueba de Kolmogorov Tres Series Teorema (K3ST) se utiliza para demostrar que el
suma de variables aleatorias independientes $\sum_{i=1}^{\infty} S_i$ converge a.s. ("un.s." significa "casi seguramente"), i. e., $S_1+\cdots +S_n$ converge a.s. Pero para este problema, se le pide que demuestre que $n^{-1/\alpha} (X_1 + \cdots + X_n)\to 0$.s. A primera vista, parece que la conclusión de K3ST se parece en nada a lo que queremos demostrar y por tanto no será útil. Kronecker del Lema (http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_lemma) proporcionar el necesario puente de K3ST a la conclusión a la que desea probar.
Definir la variable aleatoria $S_n$
$$
S_n = \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}} X_n.
$$
Vamos a comprobar las tres condiciones de K3ST para $S_n$. Esto nos va a permitir a la conclusión de $S_1+\cdots+S_n$ converge a.s. La Simple aplicación de Kronecker del Lexema con $S_n$ y el constante secuencia $n^{\frac{1}{\alpha}}$ entonces nos permiten concluir $n^{-1/\alpha} (X_1 + \cdots + X_n)\to 0$.s.
Para mayor brevedad, defina la variable aleatoria $C_n$
$$
C_n = \lceil|X_n|^{\alpha}\rceil.
$$
También, definir
$$
p_i = \mathbb{P}(C_n = i)
$$
para todos los enteros $i\ge 0$. Tenga en cuenta que $p_i$ no depende de $n$, ya que el $X_n$ y, por tanto, $S_n$ $C_n$ son yo.yo.d.
Por la desigualdad de Minkowski y el hecho de que $C_n\le |X_n|^{\alpha} + 1$, llegamos a la conclusión de $\mathbb{E}(C_n) < \infty$.
Ahora podemos comprobar K3ST para $S_n$.
Serie 1 debemos verificar que $\sum_{n\ge 1} \mathbb{P}(|S_n| > 1) < +\infty$. Observar
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 1} \mathbb{P}(|S_n| > 1) &\le& \sum_{n\ge 1} \mathbb{P} (|X_n| > n^{\frac{1}{\alpha}}) \\
&=& \sum_{n\ge 1} \mathbb{P} (|X_n|^{\alpha} > n) \\
&\le& \sum_{n\ge 1} \mathbb{P} (C_n > n) \\
&=& \sum_{n\ge 1} \sum_{i=n+1}^{\infty} p_i \\
&=& \sum_{i\ge 2} (i-1) p_i\\
&\le& \mathbb{E}(C_n) < \infty.
\end{eqnarray}
Serie 2 Tenemos que mostrarle $\sum_{n\ge 1} \mathbb{E}(S_n 1_{|S_n|\le 1})$ converge. Se puede demostrar que esta demostrando
$$
(*)\ \ \ \ \ \ \sum_{n\ge 1} \mathbb{E}(|S_n| 1_{|S_n|\le 1}) < \infty.
$$
Para mostrar esto, la primera nota
\begin{eqnarray}
\mathbb{E}(|X_n| 1_{|X_n|\le n^{1/\alpha}}) &=& \mathbb{E}(|X_n| 1_{|X_n|^{\alpha}\le n}) \\
&\le& \mathbb{E}(C_n^{1/\alpha} 1_{C_n\le n}) \\
&=& \sum_{i=1}^n i^{\frac{1}{\alpha}} p_i.
\end{eqnarray}
Por lo tanto,
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 1} \mathbb{E}(|S_n| 1_{|S_n|\le 1}) &=& \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}} \mathbb{E}(|X_n| 1_{|X_n|\le n^{1/\alpha}}) \\
&\le& \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}} \sum_{i=1}^n i^{\frac{1}{\alpha}} p_i \\
&=& \sum_{i\ge 1} \left(\sum_{n\ge i} \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}}\right) \ i^{\frac{1}{\alpha}} p_i \\
&\le& K \sum_{i\ge 1} i p_i = K \mathbb{E}(C_n) < \infty.
\end{eqnarray}
Aquí, $K$ es finita y constante, independiente de $i$, de tal manera que
$$
\sum_{n\ge i} \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}} \le \frac{K}{i^{\frac{1}{\alpha} - 1}}.
$$
Serie 3 debemos mostrar $\sum_{n\ge 1} \mathrm{Var}(S_n 1_{|S_n|\le 1}) < \infty$. Dado $(*)$ por encima, esto es fácil:
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 1} \mathrm{Var}(S_n 1_{|S_n|\le 1}) &\le& \sum_{n\ge 1} \mathbb{E}(S^2_n 1_{|S_n|\le 1}) \\
&\le& \sum_{n\ge 1} \mathbb{E}(|S_n| 1_{|S_n|\le 1}) < \infty.
\end{eqnarray}
Y hemos terminado.
