Mostrar que %#% $ #%
Sé que este %#% $ #%
Por cierto puedo usar búsqueda de lema Stolz el % $ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<f>pero esto no puede ser esta desigualdad, gracias
</f>
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El % de estimación $1/\sqrt{n}
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}
y así
$$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2\sqrt{n}-1} > \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Para un límite superior, podemos mirar el % análogo $1/\sqrt{n} > 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$, que produce
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1}-1).$$
Eso dejaría
$$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{\sqrt{n+1}-1}
ser demostrado, o
$$\sqrt{3}-1
Una estimación trivial muestra que el lado derecho es $> \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$, que produce la desigualdad $n \geqslant 7$.
El % de casos $1 \leqslant n \leqslant 6$puede ser verificado con la mano.
Mickey M
Puntos
6
Vamos a empezar desde que Stolz lema. Vemos que converge hacia abajo a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, y creemos que la expresión por debajo del límite en el medio de la igualdad debe ser monótonamente decreciente. Vamos a ver que.
Por lo tanto, vamos $$g(n)=\frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}.$$ Continuar en línea real: $$g(x)=\frac{\sqrt{2x+1} - \sqrt{2x-1}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}.$$ Ahora calculamos $$g'(x)=\frac{-\frac{4 x}{\sqrt{2 x-1}}+\frac{4 x}{\sqrt{2 x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2 x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2 x+1}}}{2 \sqrt{x}}.$$ Nuestro objetivo ahora es demostrar que esta expresión es menor que cero $\forall\,x>0.$ Es algo trivial.
Así que ahora tenemos que $g'(x)<0\ \ \forall\,x>0$, por lo $g(x)$ está disminuyendo, por lo tanto, $g(n)$ es decreciente cuando se $n>1$. Entonces, no puedo ahora estrictamente demostrar que el mismo podemos decir acerca de $\ f(n)$, pero estoy bastante seguro de que usted puede conseguir algunos inspiraton en la prueba de Stolz lema (hermoso lema en mi opinión). Así que vamos a decir que $f(n)$ es monótonamente decreciente a $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ahora sólo teníamos que demostrar que $f(1)$ satisface la desigualdad y, a continuación, cada uno de $f(n)$ serán encarcelados por debajo de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ monótonamente convergentes hacia abajo a $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Este caso en particular es demasiado trivial.
