Generalización de Eisenstein

Question

Problema:

Dado un polinomio $f(x)=c_0+c_1\,x+\ldots+c_n\,x^n\in\mathbb{Z}[x]$, asumir que existe $p\in\mathbb{Z}$ prime que satisface:

1. $p\,\nmid\,c_n$
2. $p\,\mid\,c_i,\;\forall i=0,\,\ldots,n-1$.
3. $p^2\,\nmid\,c_k\; $ durante al menos un índice $k$, $\; 0\leq k\leq n-1$.

Tener el mínimo $k$ que satisface (3) y se denota por a $k_0$. Supongamos que existe una factorización de $f(x)$$\mathbb{Z}[x]$:

$$f(x) = g(x)\,h(x).$$

Mostrar que

$$\min\left\{\deg(g(x)), \deg(h(x))\right\}\leq k_0$$

Observación

Si considero que la proyección de morfismos: $\phi:\,\mathbb{Z}[x] \longrightarrow \mathbb{Z}/p^2[x]$, que envía los coeficientes de un polinomio de su clase, Veo que este morfismos conserva el grado de los polinomios $f,\,g$$h$, debido a la clase de sus términos es distinto de cero. Para $\phi(f(x))$, todos los términos de índice de menos de $k_0$ son cero. Estoy buscando la aplicación de Eisenstein aquí y encontrar una contradicción. Sin embargo, $\mathbb{Z}/p^2$ no es un UFD...

Pregunta

Solo quiero alguna pista. Porque no sé por dónde empezar.

Answer 1

Escribimos $f = \sum_k c_kx^k$, $g = \sum_k a_kx^k$ y $h = \sum_k b_kx^k$. orking $\mod p$, el % de factorización $f = gh$induce una factorización $\phi(f) = \phi(g) \phi(h)$, donde $\phi \colon \mathbb Z[x] \to \mathbb Z/(p)[x]$ denota el morfismo canónico. Ahora $\phi(f) = c_nx^n$. Como $\mathbb Z/(p)[x]$ es una UFD, debemos tener $\phi(g) = a_mx^m$ y $\phi(h) = b_lx^l$ donde $m = \deg g$ y $l = \deg h$. Así $p\mid a_k$ $k