Para los números de Motzkin y Schröder respectivamente, tenemos las siguientes identidades: $$ Mk(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \Bigg{(} -\frac{1}{2} \sum_{a=0}^{n+2} (-3)^{k} \binom{\frac{1}{2}}{a} \binom{ \frac{1}{2}}{b} \Bigg{)}z^{n} = \frac{1 - z - \sqrt{1-2z-3z^2}}{2z^2} \quad ,$$ (donde: $b = n + 2 - a $ ) y $$S(z) = \sum_{n=1}^{\infty} s_{n} z^{n} = \frac{1-x-\sqrt{1-6z+z^2}}{2z} \quad , $$ donde $s_{n}$ viene dada por $$ s_{n} = s_{n-1} + \sum_{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k} \quad . $$ Obtuve estas identidades de estos páginas en mathworld. Sin embargo, no puedo encontrar dónde el autor o autores del artículo de mathworld encontraron las mencionadas identidades dentro de la lista de referencias que proporciona.
¿Pueden ayudarme a encontrar una referencia correcta para estas dos fórmulas?
